Contraejemplo del teorema de Riemann-Stieltjes

Question

Suponer $f$ está limitado en $[a,b]$, $f$ tiene sólo un número finito de puntos de discontinuidad en $[a,b]$ y $ \alpha $es continuo en cada punto de discontinuidad. Entonces$f \in \Re(\alpha)$

¿Hay algún ejemplo de que si $f$ está limitado a $[a,b]$ y discontinuo en $ x=c \in $[a, b], $ \alpha(x) $ es discontinuo en $ x=c $ también, pero $ f \in \Re(\alpha)$?

Answer 1

Un ejemplo en el que tanto el integrando como el integrador son discontinuos pero existe la integral de Riemann-Stieltjes es$$f(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x < c \\ 1, & c \leqslant x \leqslant b \end{cases}\quad \alpha(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x \leqslant c \\ 1, & c < x \leqslant b \end{cases}$$

Para una partición con subintervalo $I_c =[c,c+\delta]$ tenemos las sumas Darboux-Stieltjes superior e inferior iguales a $1$ ya que $\sup_{x\in I_c} f(x) = \inf_{x \in I_c} f(x) = 1$ y $\alpha(c+\delta) - \alpha(c) = 1$. Esto prueba que$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ ya que para cualquier $\epsilon > 0$ hay una partición tal que $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$.