Convergencia casi segura y secuencias lacunares

Aug 19 2020

¿Hay un ejemplo de secuencia? $X_n$ de variables aleatorias para que para cada secuencia lacunar $n_k$ sostiene eso $X_{n_k}$ converge casi con seguridad a $0$, pero $X_n$ no converge casi con seguridad a $0$?

Una secuencia $n_k$ es lacunar cuando existe un $\lambda > 1$ así que eso $n_{k+1} > \lambda n_k$ para todos $k$.

Respuestas

3 StephenMontgomery-Smith Aug 19 2020 at 03:13

El espacio de probabilidad es $[0,1]$con medida Lebesgue.

Dejar $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ Claramente $X_n$diverge por todas partes. Si$n_k$ es lacunar, entonces existe un número fijo $M$ (relacionado con $\log_2 \lambda$) tal que a lo sumo $M$ del $n_k$ mentir en cualquier $[2^n, 2^{n+1})$, y el conjunto donde cada uno de estos es distinto de cero tiene una medida como máximo $\frac 1{n^2}$. Entonces, usando el Lema de Borel-Cantelli vemos que$X_{n_k} \to 0$ como

También puedes hacer el $X_n$independiente, pero con la misma distribución. Entonces puedes demostrar que$X_n$ diverge utilizando el segundo lema de Borel-Cantelli.

3 f3qgrgdf Aug 19 2020 at 03:57

Como deja en claro la respuesta aceptada, el lema de Borel Cantelli hace que esto sea equivalente a la pregunta mucho más fácil de encontrar una secuencia $p_k\ge 0$ eso no es sumable sino de modo que cada subsecuencia lacunar sea sumable.

Por ejemplo, tome $p_t$ ser una función decreciente con $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, me gusta $p_t = 1/t$ para $t\in \mathbb{R}_{+}$. Dejar$X_n$ ser una secuencia de Bernoulli independientes $(p_n)$variables aleatorias. Luego$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$, por lo que es casi seguro que esta secuencia será $1$ infinitamente a menudo (de manera similar, va a ser $0$infinitamente a menudo también). Por tanto, con probabilidad$1$, no converge. Por otro lado, para cualquier secuencia lacunar$n_k$, habrá algunos $\lambda > 1$ así que eso $n_k > \lambda^k n_1$. Por lo tanto,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ y entonces la probabilidad de que $X_{n_{k}} > 0$ infinitamente a menudo es $0$ por Borel Cantelli, por lo que la secuencia converge a $0$ casi seguro.