Correspondencia entre representación de $SL(2,\mathbb{C})$y de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$

Question

Para el grupo de mentiras$SL(2,\mathbb{C})$considerar las representaciones definidas por

$\begin{equation}\Pi_1:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A\end{equation}$

y

$\begin{equation}\Pi_2:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A^*\end{equation}$

Donde$A^*$es el complejo elemental conjugado de$A$. Por lo que sé, son irreducibles y no isomorfos.

Por otra parte ambas representaciones corresponden a una única representación en álgbera de mentira de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$de dimensión 2,$\pi_1,\pi_2$. Ahora solo hay una representación de mentira-álgbera de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$de dimensión 2, hasta isomorfismo.

Por eso$\pi_1\cong \pi_2$. Otro teorema dice que$\pi_1$y$\pi_2$son isomórficos si y sólo si$\Pi_1$y$\Pi_2$son isomorfos.

Pero$\Pi_1 \not\cong \Pi_2$.

Mi pregunta es dónde está exactamente el error. ¿Me estoy perdiendo algo obvio? ¿Qué paso está mal y por qué?

Answer 1

Si realmente diferencia$\Pi_2$encontrará directamente que no obtiene una representación compleja de$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, por lo que el teorema que cita clasificando tales representaciones no se aplica. Como dice Moishe en los comentarios, la solución es considerar solo representaciones holomorfas, que$\Pi_2$no es.