¿Cuál es el significado de este homomorfismo co-límite para la hipercohomología de grupo?
$\require{AMScd}$ Dejar $\Gamma=\{1,\gamma\}$ ser un grupo de orden 2. En mi problema de la cohomología de Galois de grupos reductivos reales llegué a un diagrama conmutativo de $\Gamma$-módulos (grupos abelianos con $\Gamma$-acción) \ begin {ecuación *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {ecuación *} en la que las filas son exactas, pero no las columnas (y$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Las filas superior e inferior del diagrama se dividen canónicamente:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ y estas divisiones son compatibles: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ por $q_3\in Q_3$. Considero que los grupos de hipercohomología de Tate$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ donde ambos complejos cortos están en grados $(-1,0)$.
A continuación construyo "a mano" un homomorfismo co-límite canónico $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$
Pregunta. ¿Cómo puedo obtener este homomorfismo co-límite a partir de una especie de teoría general?
Observación. Para un grupo$\Gamma$de orden 2 (y también para cualquier grupo cíclico$\Gamma$) la cohomología e hipercohomología de la Tate son periódicas con el período 2. Por lo tanto, nuestra $\delta$ es un mapa $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ donde ambos complejos están en grados $(-2,-1,0)$.
Construcción. Empezamos con$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Aquí$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, es decir, \ begin {ecuación} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0,8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {ecuación} Elevamos canónicamente $ q_3$ a $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ y levantamos $ x_3$a algunos $ x_2\in X _2$. Nosotros escribimos$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ dónde $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ y $ p_1\in P_1$. Establecimos$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Ya que por $(*)$ tenemos $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ vemos eso $ x_1\in X _1$. Calculamos:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ por $(**)$. Además,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} por $(*)$ y $(**)$. Por lo tanto$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Vemos eso $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Establecimos$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Una simple verificación muestra que el mapa $\delta$ es un homomorfismo bien definido.
Respuestas
Creo que la forma más fácil de manejar esto es en el formalismo de categorías trianguladas. Puede hacerlo de varias maneras: ya sea trabajando con la categoría derivada ilimitada o (probablemente más fácil) reemplazando cada módulo$M$ con $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ dónde $\mathcal R$ es la resolución completa para $\Gamma$, es decir, el complejo estándar ilimitado 2-periódico $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$de $\Gamma$-módulos.
Deja entonces $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ ser un triángulo exacto en una categoría triangulada arbitraria, y sea $Q_3\to X_2\to P_1$ser morfismos arbitrarios con compuesto cero. Dejar$P$ ser la fibra de $X_1\to P_1$ y deja $Q$ ser el cofibra de $Q_3\to X_3$. Nuestro objetivo es construir a partir de todo lo que un mapa canónico$Q\to\Sigma P$. Resulta que existe un mapa de este tipo que, además, es un isomorfismo si y sólo si$Q_3\to X_2\to P_1$ es exacto.
Dado que el compuesto $Q_3\to X_2\to P_1$ es cero, el mapa $X_2\to P_1$ factores a través de la cofibra de $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$y el mapa $Q_3\to X_2$ factores a través de la fibra $P_0\to X_2$ de $X_2\to P_1$. Así, en general$X_1\to P_1$ factores en el compuesto $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, tiempo $Q_3\to X_3$ factores en el compuesto $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.
En primer lugar, tenga en cuenta que, en estas circunstancias, la $Q_3\to P_0$ es isomorfo a la fibra de $Q_0\to P_1$; denotándolo por$H$, el compuesto $P_0\to H\to Q_0$ es el compuesto $P_0\to X_2\to Q_0$.
Obtenemos ocho instancias del axioma del octaedro, que nos dice que para varios compuestos $f\circ g$ hay triángulos exactos $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ y $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Estrictamente hablando, no todos son necesarios, pero para completarlos, permítanme enumerarlos todos.
El par componible | da el triángulo exacto |
---|---|
$Q_3\to P_0\to X_2$ | $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$ |
$Q_3\to X_2\to X_3$ | $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$ |
$Q_3\to P_0\to X_3$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$P_0\to X_2\to X_3$ | $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$ |
$X_1\to X_2\to Q_0$ | $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$ |
$X_1\to X_2\to P_1$ | $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$ |
$X_1\to Q_0\to P_1$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$X_2\to Q_0\to P_1$ | $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$ |
Para ponerlo todo en un solo diagrama, en lo que sigue, las líneas con tres objetos representan triángulos exactos; todo se desplaza.