¿Cuál es la característica de Euler de un cuadrado? (Confusión con el teorema de Gauss-Bonnet)
Estudiante de secundaria aquí, tratando de aprender sobre la característica de Euler, la curvatura gaussiana y el teorema de Gauss-Bonnet que los une.
Según el teorema de Gauss-Bonnet: curvatura total $= 2 \pi \times$ característica de euler.
Aquí está mi confusión. Un cuadrado (por ejemplo, una hoja de papel plana) tiene una curvatura gaussiana de cero. Pero siguiendo la fórmula$\chi = V - E + F$, Calculo que la característica de Euler de un cuadrado es $1$.
Esto se debe a que los vértices $V = 4$, bordes $E = 4$ y caras $F = 1$. Por lo tanto$\chi = 4 - 4 + 1\Rightarrow \chi = 1$.
Entonces obtengo la ecuación $0 = 2\pi 1$, es decir $0 = 2\pi$.
Donde esta mi error
Respuestas
La primera dificultad es que la versión del teorema de Gauss-Bonnet que parece estar usando es para 2 variedades compactas sin límite. Una esfera es una variedad compacta de 2 sin límite. El límite de un cubo (seis cuadrados pegados a lo largo de sus bordes) es una variedad compacta de 2 sin límite. Un cuadrado (tomado como cerrado ya que dice que los vértices y los bordes son parte de la variedad) es una variedad compacta de 2 con límite.
Al describir una variedad, generalmente se omite "sin límite". Uno suele incluir "con límite". El estado predeterminado de una variedad no tiene límite.
Existe una versión de Gauss-Bonnett para 2 colectores compactos con límite. $$ \int_M K \,\mathrm{d}A + \int_{\partial M} k_g \,\mathrm{d}s = 2 \pi \chi(M) \text{,} $$donde la primera integral es de la curvatura gaussiana sobre la superficie y la segunda integral es la curvatura geodésica en el límite.
El cuadrado cerrado es homeomorfo al disco cerrado. El límite del disco cerrado es un círculo. La curvatura geodésica del límite del círculo de un disco mide cuánto se cierra esa curva de manera similar a un círculo (tanto como la curvatura gaussiana mide cuánto se cierra una superficie de manera similar a la esfera). Por supuesto, un círculo se cierra exactamente como lo hace un círculo, por lo que esta integral contribuye$2\pi$ en el lado izquierdo cuando estudias un disco cerrado o un cuadrado cerrado.
(Hay una sutilidad aquí. Es fácil combinar la curvatura "extrínseca" causada por una incrustación específica con una curvatura geodésica ("intrínseca"). Podemos incrustar nuestro círculo a lo largo de muchas revoluciones de una hélice, luego fuera de la hélice de regreso a donde iniciado. Esta inserción tiene mucha curvatura, pero un círculo es solo un círculo ...)
Una dificultad menos crítica es que un cuadrado solo se ve plano cuando lo incrusta de una manera particular. Usted puede curvarse hasta una plaza en un tubo - que no es plana. Incluso puede doblar este tubo para que los extremos se encuentren, que nuevamente no es plano.
Si a un cuadrado pegamos los bordes superior e inferior juntos [*] y luego pegamos los dos nuevos círculos juntos, obtenemos un 2-múltiple compacto (sin límite). Este objeto es un toro . Debido a los pegados, los cuatro vértices del cuadrado se han pegado en un vértice y los dos pares opuestos de bordes del cuadrado se han pegado entre sí. El resultado tiene un vértice, dos aristas y una cara, con la característica de Euler cero y la curvatura total cero.
Este cero es lo que esperabas para un cuadrado plano. Puede resultar sorprendente que nuestra incrustación tenga que exhibir toda la "curvatura" de un toro para obtener una curvatura gaussiana cero, pero toda esa "curvatura" es una curvatura extrínseca.
[*] Debemos tener cuidado con cómo hacemos este encolado. Para el primer par de bordes debemos pegar para obtener un anillo, no una tira de Moebius . Para el pegado de los círculos, si pegamos del mismo modo que el primer pegado, obtenemos un toro. Si pegamos "al revés", obtenemos una botella de Klein . Por supuesto, la botella de Klein con curvatura constante es plana , por lo que también tiene una curvatura gaussiana cero.
El logro del teorema de GB es relacionar la curvatura total de una superficie $S$ que está limitado por una curva $c$ a (i) la topología de $S$, y (ii) la curvatura "a lo largo $c$". Para una superficie cerrada, que no tiene límites, la" curvatura a lo largo $c$"término termina siendo cero. Así que obtenemos una relación entre la curvatura total de $S$ y la topología de $S$ --- lo que citas como el teorema de GB.
Para las superficies con límite, debe incluir la curvatura a lo largo del límite, y si el límite tiene "esquinas", también debe incluir la "curvatura" allí. Terminas viendo tres tipos de curvatura:
Curvatura en las "esquinas" del límite, es decir, cosas de dimensión 0
Curvatura a lo largo de los arcos del límite, es decir, cosas unidimensionales.
Curvatura sobre el interior de la superficie, es decir, una cosa bidimensional.
Y una especie de suma de estos acaba por relacionarse con tres tipos de objetos topológicos:
Un recuento de cosas de 0 dimensiones (vértices)
Un recuento de cosas unidimensionales (bordes)
Un recuento de cosas bidimensionales (caras)
proporcionando una simetría interesante entre las dos sumas.
No voy a escribir la fórmula, porque hacerlo bien requiere configurar correctamente las orientaciones , y esa es una tarea para la que personalmente necesito una pizarra en lugar de texto. Pero las contribuciones de dimensión cero a la curvatura son "ángulos exteriores" en los vértices. Y mi ejemplo favorito de "llévelo en mi bolsillo para recordarlo" consiste en un triángulo en la superficie de la tierra:
El polo Norte $N$es un vértice. Un borde se extiende desde él a través de Greenwich, Reino Unido hasta un punto$G$en el ecuador. Otro se extiende a través de Guatemala (longitud 90W) hasta un punto$A$en el ecuador. Y el arco de 90 grados del ecuador desde$A$ a $G$completa el triángulo. Hay 3 vértices, 3 aristas, una cara, entonces$V-E+F = 1$. Ese es el lado de la topología. En el "lado de la geometría", la curvatura total de una esfera es$4\pi$, entonces este triángulo, que es $1/8$ de la esfera, tiene curvatura total $\frac12 \pi$. Cada borde del triángulo es geodésico, por lo que no tiene curvatura a lo largo de la superficie. Y en cada vértice, el ángulo exterior es de 90 grados, es decir,$\pi/2$, para un total de $3\pi/2$en los vértices. Sumando la curvatura de la superficie y restando la curvatura del borde (cero), obtenemos$2\pi$, que es de hecho $2\pi (V - E + F)$, como se esperaba.
Si encoges este triángulo hasta que sea muy pequeño, digamos que encaja en una hoja de papel, entonces el término de curvatura de la superficie cae esencialmente a cero, y los tres ángulos exteriores son todos $2\pi/3$, así que de nuevo la suma es $2\pi$.