¿Cuál es la relación entre el primer teorema de HK y el segundo teorema de HK?
El primer teorema de Hohenberg-Kohn (HK) : El potencial externo$v(\vec{r})$está determinada, dentro de una constante aditiva trivial, por la densidad electrónica del estado fundamental$\rho(\vec{r})$.
De la mecánica cuántica básica, sabemos que:$v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. De acuerdo con el primer teorema de HK, podemos saber además que$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. En esencia, el primer teorema de HK demuestra el mapeo uno a uno entre los potenciales externos y las densidades del estado fundamental.$\rho$en sistemas de muchos electrones.
El segundo teorema de HK : Existe un funcional universal de la densidad,$F_{HK}[\rho']$, tal que para cualquier$N$-densidad representable ($\textit{i.e.}$, cualquier densidad que proviene de alguna función de onda para un$N$-sistema de electrones)$\rho(\vec{r})$, que produce un número dado de electrones$N$, la energía funcional es,$$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$en el cual$E_g$es la energía del estado fundamental y la igualdad se mantiene cuando la densidad$\rho'(\vec{r})$es la densidad del estado fundamental, posiblemente degenerada$\rho_0'(\vec{r})$por el potencial externo$v(\vec{r})$.
De las dos declaraciones, no puedo ver ninguna conexión entre los dos teoremas. Entonces, ¿cuál es la relación entre los dos teoremas? Si$F_{HK}(\rho')$es el funcional de la densidad del estado fundamental, puedo construir una conexión entre los dos teoremas. Pero la densidad en$F_{HK}[\rho]$no es necesaria la densidad del estado fundamental.
- Sobre el primer teorema de HK:http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
- Sobre el segundo teorema de HK:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub
Respuestas
Usando su notación, la definición del funcional universal es
$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$
donde$\hat{T}$y$\hat{W}$son operadores cinéticos y de interacción electrón-electrón, respectivamente. Esta definición es posible debido al mapeo uno a uno entre las densidades y sus correspondientes funciones de onda del estado fundamental (es decir, porque$\psi_0$es un funcional de$\rho$), que creo que es la conexión que estás buscando.
Una conexión formal es que el primer teorema se usa en la demostración del segundo. De hecho, el segundo es una traducción del principio de que$E[\Psi']$tiene un mínimo en la función de onda del estado fundamental correcto$\Psi$, usando la correspondencia uno a uno$\rho \leftrightarrow \Psi$conocido por el primer teorema.
La derivación se puede encontrar en el artículo original de Kohn y Hohenberg (parte I-2). Es bastante corto y fácil de leer, por lo que vale la pena echarle un vistazo.