¿Cuál está más mal condicionada, la matriz de correlación de activos o la matriz de covarianza?

Aug 17 2020

Si tengo una matriz de rendimientos de activos multivariados para$N$acciones, y calculo a partir de ella la matriz de covarianza y luego la matriz de correlación, ¿puedo saber siempre cuál de los dos tendrá el número de condición más alto (mayor a infinito significa más mal condicionado, a diferencia de cerca de 1 para bien condicionado) ? ¿O es el número de condición de dos (tipos de) matrices diferentes completamente incomparable?

Si uno siempre está mejor condicionado que el otro, ¿hay una prueba matemática para esto? otros criterios además del número de condición son bienvenidos

Respuestas

1 Quantoisseur Aug 17 2020 at 18:54

Sí, puede comparar los números de condición de la matriz si los evalúa para el mismo problema, por ejemplo, tomando el inverso de la matriz. Para L2:

Para la caracterización matemática adicional del condicionamiento y su impacto, consulte la primera mitad de estas notas de clase de una clase que tomé:https://github.com/mandli/intro-numerical-methods/blob/master/12_LA_conditioning_stability.ipynb

1 develarist Aug 18 2020 at 13:33

Después de haber probado esto con vectores generados aleatoriamente, constantemente veo que la matriz de correlación de números generados aleatoriamente, independientemente de la distribución de la que se muestreen, siempre está mejor condicionada que la matriz de covarianza. Lo cual es extraño porque la matriz de covarianza existe antes que la matriz de correlación: la matriz de correlación debe calcularse a partir de la matriz de covarianza y no se puede hacer al revés.

En otras palabras, la matriz de covarianza, al estar más mal condicionada, de hecho se transforma en una matriz más bien condicionada y estable cuando se convierte en la matriz de correlación.

lo que me hace preguntarme si sería mejor que todos los modelos financieros que se basan en la matriz de covarianza usaran la matriz de correlación como entrada, dada toda la animosidad hacia la inestabilidad y el mal condicionamiento de la covarianza. Sé que la covarianza posee varianza, o riesgo, por lo que inclinar los modelos para interpretar estrictamente las correlaciones resultaría en perder la medida más relevante, que es el riesgo, no la correlación, por lo que parece que estamos anteponiendo la interpretabilidad en comparación con otras altamente -opciones relacionadas, que tiene el precio de la inestabilidad numérica y el error de estimación