¿Cuáles son las ecuaciones estándar para el cambio de coordenadas cartesianas en $\mathbb{R}^2$?
Estoy trabajando en la primera sección de la Introducción a los colectores diferenciables de Boothby , y uno de los ejercicios dice lo siguiente:
Usando ecuaciones estándar para el cambio de coordenadas cartesianas, verifique que $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, dónde $m_1, m_2$ son la pendiente de dos rectas, es independiente de la elección de coordenadas.
Se menciona que esto también se puede hacer demostrando que su valor es solo la tangente del ángulo entre las dos líneas, pero creo que el ejercicio no está destinado a completarse de esta manera.
No estoy familiarizado con las ecuaciones estándar para el cambio de coordenadas cartesianas. Parece un cambio de coordenadas en$\mathbb{R}^2$ sería cualquier transformación afín, aunque no estoy seguro de esto.
Mi pregunta es: ¿cuáles son las ecuaciones estándar para el cambio de coordenadas cartesianas?
Respuestas
Dado que los gradientes son invariantes bajo traslaciones, podemos suponer sin pérdida de generalidad que los dos sistemas de coordenadas cartesianas tienen el mismo origen y que cada línea pasa por ese origen común. La transformación de coordenadas$x,\,y$ a las coordenadas $X,\,Y$ satisface$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$para algunos $\theta\in\Bbb R$. Si$y=mx$ y $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$Finalmente,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$Para terminar, vale la pena señalar que la solicitud de Boothby de usar un cambio de coordenadas cartesianas no solo nos da más trabajo del necesario, sino que hace que el resultado final parezca un accidente. No lo es. Escritura$m_1=\tan\theta_1$ etc., $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, por lo que el resultado se deriva de la invariancia rotacional de los ángulos en el plano.
Si tiene dos sistemas de coordenadas cartesianas, $Oxy$ y $\Omega\xi\eta$, entonces la ecuación que los relaciona es $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ dónde
- la matriz $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ en invertible y
- $\xi(O)$ y $\eta(O)$ son las coordenadas de $O$ en el segundo sistema de coordenadas.