¿Cuáles son las matrices en el POVM para medir el primer $m$ qubits?

Question

Suponga que tiene un estado cuántico $|w\rangle$ que consiste en $m + n$ qubits, y configura una medida que mide el primer $m$qubits en la base estándar. ¿Cuáles son las matrices en el POVM correspondiente?

Answer 1

Bueno, dado que estas son medidas proyectivas en el subespacio del primer $m$ qubits, podemos simplemente enumerar todos los proyectores sobre la base computacional de este primer subespacio y 'rellenarlos' con $I$está en el segundo subespacio:

$$ P_{j} = |j\rangle\langle j|_{m} \otimes I_{|n|},\,\,\, \forall j \in \{0,1\}^{m}, $$ que da exactamente $|\{0,1\}^{m}| = 2^{m}$diferentes operadores para el POVM. Si identifica distintos resultados de medición con cada operador, diga$\lambda_{j} = j_{d}$ (p.ej $j$ en forma decimal), también puede escribir fácilmente un operador de medición:

$$ M = \sum_{j} \lambda_{j}P_{j} = \sum_{j} j_{d}|j\rangle \langle j \otimes I_{n}| $$

Vea también, por ejemplo, esta buena respuesta de Daftwullie para un operador de medición diferente. Tenga en cuenta que esa respuesta omite el subespacio adicional de$n$, pero puedes tratar eso rellenando con $I$de nuevo.