¿Cuáles son los números algebraicos p-ádicos?

Question

"Dado $p$, cuales son los elementos de $\mathbb{Q}_p$ algebraico terminado $\mathbb{Q}$? "

Periódicamente me pregunto esto y me encuentro con esta pregunta mathoverflow que parece estar preguntando lo mismo. La respuesta elegida no parece responder a esa pregunta (que puedo ver), y buscar en Google "números algebraicos p-ádicos" devuelve esa pregunta como el resultado principal. En ese momento me rindo y espero hasta que se me olvida y lo intento de nuevo. Así que esta vez preguntaré:

¿Conoce una caracterización (más conveniente) de $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ o tener referencias para el "$p$-números algebraicos árabes?

No estoy seguro de que haya una caracterización de "números algebraicos reales" mucho más satisfactoria que "números algebraicos reales", pero el valor absoluto p-ádico es inherentemente más "algebraico" que el valor absoluto real, y hay diferencias como $p$ varía, entonces, ¿qué son?

Answer 1

Dejar $O_\overline{\Bbb{Q}}$ ser los enteros algebraicos, tomar algún ideal máximo $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ conteniendo $p$, dejar $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, luego $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ y $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ es (isomorfo a) el subcampo de $\overline{\Bbb{Q}}$ Arreglado por $G$.

Equivalentemente, dejemos $S$ ser el conjunto de extensiones algebraicas (grado infinito) $K/\Bbb{Q}$ para lo cual algún ideal máximo $\mathfrak{p}\subset O_K$ es tal que $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Luego$\Bbb{Z}_p$ es (isomorfo a) la finalización de $O_K$ a $\mathfrak{p}$, y $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ es (isomorfo a) cualquier elemento máximo de $S$.