Cualquier mapa continuo es homotópico a uno que asume valores fijos en un número finito de puntos
Dejar $X$ y $Y$Ser espacios topológicos. Asumir$X$es localmente contráctil y no tiene un subconjunto finito denso. Asumir$Y$ está conectado con la ruta.
Dado $n$ pares de puntos $(x_i, y_i)$ dónde $x_i\in X$ y $y_i\in Y$ para $1\leq i\leq n$ y un mapa continuo $f:X\to Y$ podemos encontrar un mapa continuo $g:X\to Y$ homotópico a $f$ tal que $g(x_i)=y_i$?
Respuestas
Dejar $X$ ser la línea real con un origen duplicado y $Y$ ser $\Bbb R$, y deja $f$ ser el mapa de proyección que colapsa los dos orígenes $0^+$ y $0^-$ a $0$. Entonces cualquier mapa$g: X \to Y$ satisface $g(0^+) = g(0^-)$ porque $\Bbb R$es Hausdorff. Por lo tanto,$f$ no es homotópico a ningún mapa que envíe estos dos puntos a otros distintos.
Tu pregunta está estrechamente relacionada con la inclusión $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$que tiene la propiedad de extensión de homotopía. En particular, si se trata de la inclusión de una retracción de deformación de vecindad, entonces existen tales homotopías. En el ejemplo anterior, cada punto individualmente tiene una vecindad contraíble, pero los dos orígenes juntos no tienen una vecindad que se retraiga hacia ellos.