Cualquier subespacio lineal tiene medida cero

Question

Definición

Dejar $A$ ser un subconjunto de $\Bbb R^n$. Decimos$A$ tiene medida cero en $\Bbb R^n$ si por cada $\epsilon>0$, hay una cubierta $Q_1,\,Q_2,...$ de $A$ por innumerables rectángulos de modo que $$ \sum_{i=1}^\infty v(Q_i)<\epsilon $$ Si esta desigualdad se mantiene, a menudo decimos que el volumen total de los rectángulos $Q_1,Q_2,...$ es menos que $\epsilon$.

Teorema

Dejar $A$ estar abierto en $\Bbb R^n$; dejar$f:A\rightarrow\Bbb R^n$ ser una función de la clase $C^1$. Si el subconjunto$E$ de $A$ tiene medida cero en $\Bbb R^n$, luego el set $f[E]$ también mide cero en $\Bbb R^n$.

Prueba . Ver el lema$18.1$ del texto "Análisis de colectores" de James Munkres.

Lema

El subconjunto $\Bbb R^m\times\{t_{m+1}\}\times...\times\{t_{m+(n-m)}\}$ de $\Bbb R^n$ tiene medida cero en $\Bbb R^n$.

Prueba . Vea aquí .

Teorema

Cualquier subespacio lineal $W$ de $\Bbb R^n$ que tiene dimensión $m<n$ tiene medida cero.

Afortunadamente arreglé la siguiente prueba, pero dudo que haya algunas imperfecciones.

Prueba . Primero que nada si$W$ es un subespacio de $\Bbb R^n$ de dimensión $m<n$ luego $$ W\equiv\big<w_1,...,w_m\big> $$ para algunos $w_1,...,w_m\in\Bbb R^m$que son linealmente independientes, por lo tanto, tenemos que demostrar que el conjunto de combinación lineal de estos vectores tiene medida cero. Ahora si$\mathcal E:=\big\{e_1,...,e_n\big\}$ es la base canónica, entonces definimos la transformación lineal $t:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$ a través de la condición $$ t(e_i):=\begin{cases}w_i,\,\,\,\text{if}\,\,\,i\le m\\0,\,\,\,\text{otherwise}\end{cases} $$ para cualquier $i=1,...,n$ así que eso $t\big[\Bbb R^n\big]=W$. Entonces ampliamos el conjunto$\big\{w_1,...,w_m\big\}$ a una base $\mathcal W:=\big\{w_1,...,w_m,w_{m+1},...,w_n\big\}$ y luego consideramos el difeomorfismo (lineal) $f$ de clase $C^1$ definido a través de la condición $$ f(e_i):=w_i $$ para todos $i=1,...,n$. Así que si$f[W]$ tiene medida cero entonces $W$también tiene medida cero. Así que desde$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$ el teorema es válido.

Entonces, ¿es correcta mi prueba? Entonces, desafortunadamente, no puedo probar eso.$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$. Entonces, ¿alguien podría ayudarme, por favor?

Answer 1

Usando la notación en tu teorema, deja $A = \mathbb{R}^n\subset \mathbb{R}^n$ así que eso $A$ está abierto y buscamos un difeomorfismo en $A$ así que eso $\mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ está mapeado a $W$ donde asumimos sin pérdida de generalidad que $\dim(W) = m$. Ya que$W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ entonces podemos encontrar una base para $W$ y etiquetar estos vectores $\{w_1, \ldots w_m\}$. También podemos encontrar un$n-m$ vectores tales que $\{w_1, \ldots w_m, w_{m+1}, \ldots w_{n}\}$ es una base para $\mathbb{R}^n$. Dejar$\{e_1,\ldots e_n\}$ ser la base estándar para $\mathbb{R}^n$. Considere la transformación lineal definida por$$ f(e_i) = w_i$$ Luego $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ es una biyección lineal y por lo tanto es $C^1$. Darse cuenta de$E = span\{e_1\ldots e_m\} = \mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ y eso $$f(E) = span\{f(e_1),\ldots f(e_m)\} = span\{w_1,\ldots w_m\} = W $$

Answer 2

No es exactamente una respuesta, pero no cabe en un comentario.

Es una consecuencia de un resultado general que es que si $p:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es un polinomio, entonces $p=0$o distinto de cero en casi todas partes. Hay una prueba concisa aquí .

Si $W$ es un subespacio adecuado de $\mathbb{R}^n$, entonces está contenido en algún hiperplano $H$ y podemos escribir $H= \{ x | \phi(x) = \alpha \}$ dónde $\phi$es un funcional lineal distinto de cero. Dado que el polinomio$p(x)=\phi(x)-\alpha$ es un polinomio distinto de cero en $x_1,..,x_n$ vemos eso $H$ tiene medida cero.