¿Cuándo dan generadores los módulos proyectivos?

Question

Estoy leyendo arXiv: math / 0111066 [math.RA] y no entiendo la prueba del Lema 1.4. La única parte que no sigo es la afirmación:

Si $B$es un módulo proyectivo (derecha) sobre un anillo$R$que es simple , entonces$B$ es un generador para $\operatorname{Mod}-R$.

No veo cómo aprovechar la hipótesis de que $R$ es simple. $B$ es la suma directa de un módulo gratuito (y se generan módulos gratuitos), pero ¿por qué eso muestra que $B$ genera (y no el complemento de $B$?)

Actualización: una posible referencia es la sección XVII, 7 de Álgebra de Lang . Tenga en cuenta que$B$ se convierte en una izquierda $R'(B)=\operatorname{End}_R(B)$módulo de forma natural. El teorema de Morita dice que$B$ es un generador si y solo si el mapa natural $R\rightarrow \operatorname{End}_{R'}(B)$ está en$B$ es "equilibrado") y $B$ es proyectiva finitamente generada sobre $R'(B)$. Sin embargo, no tengo idea de cómo verificar esto ...

Answer 1

Solo se como probar esto si $B$se genera de forma finita; afortunadamente en el Lema 1.4 esto se sigue porque$B$ es un sumando directo (de ahí un cociente) de $P$ que se supone que se genera de forma finita.

Dado que, $B$ es una suma directa de algún módulo libre finito $R^n$, por tanto, puede presentarse como la imagen de un idempotente $e \in M_n(R)$. En esta publicación de blog (pase a "Equivalencias de Morita más explícitas") puede ver una prueba de lo siguiente (esto debería ser estándar, pero no conozco una referencia y fue más rápido simplemente probarlo):

Lema: $\text{im}(e)$ es un generador iff $e \not \equiv 0 \bmod I$ para cualquier ideal de dos caras adecuado $I$ de $R$.

Si $R$ es simple, el único ideal es $I = (0)$ por lo que esta condición se satisface automáticamente para cualquier idempotente distinto de cero $e$ y por lo tanto para cualquier módulo proyectivo generado finitamente distinto de cero $B$.

(La publicación del blog es principalmente una discusión sobre las diferentes definiciones de "generador", que en general no son equivalentes pero que básicamente coinciden en $\text{Mod}(R)$y más generalmente en cualquier categoría abeliana cocompleta. Estas equivalencias me permiten usar la definición más débil de generador, que es un objeto$B$ tal que si $C$ es cualquier objeto distinto de cero, entonces hay un mapa distinto de cero $B \to C$.)

Answer 2

1. Es fácil ver eso $R$ itsef es un generador.
2. Te proporcionaré un epimorfismo $P \twoheadrightarrow R$, observe que esto es lo mismo que proporcionarle un mapa distinto de cero, porque $R$es simple. Tal "tapadera" de un generador muestra que también$P$ es un generador.
3. Siendo proyectivo, $P$ es un submódulo dividido de $R^{(\Gamma)}$, el módulo gratuito generado por algún conjunto $\Gamma$. Ahora, considere todas las proyecciones$\pi_i: R^{(\Gamma)} \to R$, componiendo con la inclusión $P \hookrightarrow R^{(\Gamma)} \to R$, debe haber al menos uno $i$ tal que la proyección no sea cero, porque $P$ es un módulo no trivial.