¿Cuándo utilizar la sustitución polar?

Question

Resolví el problema a continuación, que me dio esta pregunta: ¿Cómo sé cuándo usar la sustitución polar?

Si, en lugar de la sustitución polar, establezco directamente (x, y) = (0,0), obtengo una división por cero. Por lo tanto, usaré la sustitución polar. ¿Hay algo más en lo que deba pensar?

El problema.
¿Cómo se puede definir la función en el origen para que sea continua en todos los puntos del plano xy? $$f(x,y) = \frac{x^2+y^2-x^3y^3}{x^2+y^2}, \ (x,y)\neq(0,0)$$

Mi solución. $$\text{Polar substitution: } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ x^2+y^2=r^2\\ \begin{align} &\lim_{r\to0}\frac{r^2-r^3\cos^3\theta\, r^3\sin^3\theta}{r^2}\\ &\Rightarrow\lim_{r\to0} \frac{r^2(1-r\cos^3\theta\, r^3\sin^3\theta r)}{r^2(1)}\\ &\Rightarrow\lim_{r\rightarrow0} \frac{r^2(1-r\cos^3\theta\, r^3\sin^3\theta)}{r^2(1)}\\ &\Rightarrow\lim_{r\rightarrow0} \frac{1-r\cos^3\theta\, r^3\sin^3\theta}{1}\\ &\Rightarrow\lim_{r\rightarrow0} \frac{1-0\cos^3\theta\, 0^3\sin^3\theta}{1} \Rightarrow f(0,0)=1\\ \end{align} $$

Answer 1

Si la sustitución polar limita la función entre funciones de $r$que tienen el mismo límite, puede probar que la función intermedia tiene el mismo límite mediante el teorema de compresión. En este caso,$$f=1-r^4\cos^3\theta\sin^3\theta=1-\tfrac18r^4\sin^32\theta$$está limitado entre $1\mp\tfrac18r^4$. Pero incluso los límites más laxos y obvios$1\mp r^4$ probar que el límite es $1$.