¿Cuántos huecos puede tener una proyección de una variedad algebraica?

Question

Dejar $V$ ser una subvariedad cerrada de $\mathbf{P}^n$. (Trabajamos sobre un campo algebraicamente cerrado.) Definir$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ por $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, dónde $P_0$ es el punto $(0,0,...,0,*)$ en $\mathbf{P}^n$.

si solo $\pi$ se definieron en todos los $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ sería una subvariedad cerrada de $\mathbf{P}^{n-1}$. No lo es, y$V$ no necesita ser una subvariedad cerrada de $\mathbf{P}^{n-1}$. (Ejemplo sencillo:$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) ¿Todavía se puede decir que $\pi(V)$ contiene $\overline{\pi(V)}\setminus W$, dónde $W$ es una subvariedad cerrada de codimensión positiva en $\overline{\pi(V)}$ y grado $\leq \deg(V)$, decir? ¿Cómo?

Answer 1

Explota para obtener un morfismo $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. Dejar$\widetilde{V}$ ser la transformación adecuada de $V$ en $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. Luego$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.

Ahora podemos escribir $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ dónde $C_{P_0}V$ es el cono tangente de $V$ a $P_0$.

Entonces $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (que en tu notación es $\pi(V)$) contiene $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.

Como se señaló anteriormente, $\Pi(\widetilde{V})$ igual $\overline{\pi(V)}$. Además,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ es un subconjunto cerrado del divisor excepcional $E$y $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ es un isomorfismo.

Entonces lo entendemos $\pi(V)$ (en tu notación) contiene $\overline{\pi(V)} \setminus W$ dónde $W \subset \mathbf P^{n-1}$ es un subconjunto cerrado isomorfo a la proyectivización del cono tangente de $V$ a $P_0$.

El set cerrado $W$ tiene dimensión $\operatorname{dim}(V)-1$. Por otra parte,$\pi(V)$ tiene la misma dimensión que $V$ a no ser que $V$ es un cono cuyo vértice contiene $P_0$, pero en ese caso $\pi(V)$ es un conjunto cerrado.

En cuanto al grado, el grado de $\mathbf P(C_{P_O}V))$como un subesquema de$E$ es igual a la multiplicidad de $V$ a $P_0$, por lo tanto, está delimitado por encima de $\operatorname{deg}(V)$. Ya que$W$es (isomorfo a) el subconjunto cerrado subyacente de este esquema, su grado no es mayor que el del esquema. Entonces tenemos$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ según sea necesario.