Dado positivo $x,y$ tal que $x > y$ y $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $, encuentra el mínimo $(x+y)$

Question

Me dan números positivos $x, y$ tal que $x > y$ y $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. Necesito encontrar el valor mínimo de$(x+y)$. Aquí está mi intento. Usando la desigualdad AM-GM para números no negativos, tengo

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

Entonces, he podido llegar a esta conclusión. Pero estoy atrapado aquí. Alguna ayuda ?

Gracias

Answer 1

Por AM-GM $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ lo que da $$x+y\geq4.$$ La igualdad ocurre para $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ y $4xy=(x-y)^2,$ lo que da $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ que dice que obtuvimos un valor mínimo.

Answer 2

poner $x=r^2{cos}^2a$ y $y=r^2{sin}^2a$ también deja $a$ pertenece a $[0,\frac{\pi}{2}]$

así que tenemos que encontrar el valor máximo de $r^2$

conectando los valores en la ecuación dada y simplificando usando fórmulas trigonométricas básicas tenemos $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ o

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

Answer 3

Pista: poner $x=\alpha \cosh^2(x)$ y $y=\alpha\sinh^2(x)$ la condición se convierte en:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

La expresión es:

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

Resolviéndolo encontramos $x+y\geq 4$.

Answer 4

Insinuación.

Haciendo

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

tenemos

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

entonces

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

etc.

Answer 5

Dado $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

dejar $yx=c$ , dónde $c>0$.

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

Deja una función $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$estar definido. Luego$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ a una constante $x$ Nos da $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ ( utilizando $[1]$). Entonces,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

cuando $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ como se indica en.