Dados n puntos d-dimensionales distinguibles, ¿cuál es el mayor número de formas diferentes en que se pueden separar linealmente?

Question

Supongamos que tenemos $n$ puntos distinguibles en $\mathbb{R}^d$. Que es$f(n, d)$, ¿la mayor cantidad de formas diferentes en las que podemos separarlos usando un solo hiperplano? No considero que cambiar el lado "izquierdo" y "derecho" del avión sea diferente.

Encontré la siguiente pregunta para el$d = 2$ caso, entonces $f(n, 2) = \binom{n}{2} + 1$.

Puede suponer que los puntos están en una posición que permite el mayor número de separaciones. por$d = 2$ se muestra que esto no importa (más allá de la colinealidad), pero no sé si esto también es válido para dimensiones más altas (con puntos en posición general).

Answer 1

Asumiendo el $n$puntos en posición general , como se muestra en el artículo "El número de particiones de un conjunto de N puntos en k dimensiones inducidas por hiperplanos" de EF Harding, la función que busca es:

$$f(n,d) = \sum_{k=0}^{d}{n-1 \choose k}$$