Dejar $ a$ser un número natural fijo. Demuestre que el conjunto de divisores primos de $ 2^{2^{n}} + a$ para $ n = 1,2,\cdots$ es infinito

Aug 17 2020

$\textbf{Question:}$Dejar $ a$ser un número natural fijo. Demuestre que el conjunto de divisores primos de$ 2^{2^{n}} + a$ para $ n = 1,2,\cdots$ es infinito.

He llegado a saber que este problema se deriva fácilmente del "teorema de Kobayashi". Pero eso probablemente no dará ningún punto en una situación de competencia matemática.

Aparte de eso, creo que necesitaríamos usar de alguna manera la idea detrás de la prueba de Euclides de infinitud de primos. Pero parece demasiado complicado. Apenas pude avanzar en este problema. Por tanto, se agradece cualquier tipo de sugerencia o solución. Gracias por adelantado.

Respuestas

1 sirous Aug 17 2020 at 02:29

Supongamos que con un número fijo a obtenemos un compuesto de la forma $N=2^{2^n}+a$que tiene algunos divisores primos. Si probamos que estos compuestos son infinitos, entonces podemos concluir que el número de divisores primos de N para una a fija es infinito (esto es lo que pregunta la pregunta, si lo entendí correctamente).

Encontré este teorema en un libro de teoría de números de Sierpinski. La prueba es de A. Schintzel.

Teorema: para cada número natural $k ≠ 1$ existe una infinidad de números naturales como n tal que el número $2^{2^n}+k$ es compuesto.

Prueba:

Sea a un número natural arbitrario yk un entero diferente a la unidad. $k-1=2^s h$ dónde $2^s$ es el mayor poder de $2$ que divide $k-1$y h es un número impar que puede ser positivo o negativo. Toma m tal que$2^{2^m}>a-k$ y número t tal que $t≥s$ y también $t≥m$. Si$2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k> a$ es compuesto, entonces tenemos un número compuesto en la forma $2^{2^n}+k$mayor que a. Entonces asumimos$p=2^{2^t}+k$es primordial. Ya que$t≥s$ y $k-1=2^sh$, entonces tenemos:

$p-1=2^{2^t}+k-1=2^sh_1$

dónde $h_1$ es un número impar positivo Ahora, debido al teorema de Euler tenemos:

$2^{\phi(h_1)} ≡ 1 \ mod (h_1)$

Ya que $p-1=2^s h_1$, luego:

$2^{s+\phi(h_1)}≡ 2^s \ mod (p-1)$

Ya que $t≥s$ , obtenemos:

$2^{t+\phi(h_1)}≡ 2^t \ mod (p-1)$

Finalmente, debido al pequeño teorema de Fermat tenemos:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k ≡ 2^{2^t}+k≡ 0 \ mod (p)$

Ya que $2^{t+\phi(h_1)}> 2^t$ entonces podemos escribir:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k>2^{2^t}+k=p$

De ahí el número $2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k$ será un compuesto mayor que a, porque:

$p=2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k > a$

La prueba está hecha.