Dejar $P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+…+a_nx^n$ y $P(1)=4$ y $P(5)=136$
Dejar $P(x)$ ser un polinomio tal que, $$P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+.......+a_nx^n,~~(a_i,n\in{Z^{\geq 0}})$$
$$ P(1)=4, P(5)=136$$
Tenemos que encontrar $P(3)$
Este problema es más difícil de lo que parece (al menos para mí)
Lo que traté de hacer fue $$P(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+.......+a_n=4$$ y $$P(5)=a_0+5a_1+25a_2 +125a_3+.......+a_n5^n$$
Dejar $P(1)=S$y tomamos $a_0$ al lado de $S$ y multiplicar $(S-a_0)$ por $5$y algunas cancelaciones. Simplemente no lleva a ninguna parte
¿Puedo obtener algunas sugerencias sobre cómo proceder?
Respuestas
La observación crucial proviene del hecho de que los coeficientes deben estar en $\mathbb{Z}^{\geq 0}$.
$P(5) = 136$ solo se puede escribir de las siguientes formas usando potencias de 5:
- $1 + (27)(5)$
- $1 + (22-5i)(5) + (i+1)(5^2)$ para $i = 0,1,2,3,4$
- $1 + (2)(5) + (1)(5^3)$
El único que satisface $P(1) = 4$ es el ultimo que es $P(x) = 1 + 2x + x^3$.
Por lo tanto, $P(3) = 34$
Claramente $n\le 3$ como $a_n5^n>136$ para $n\ge 4$ y $a_n\ge 1$. Ya que$P(5)=136$ esta fuerza $a_3\le 1$. Si$a_3=1$, claramente $a_2=0$ que fuerzas $a_1=2$ y $a_0=1$. Si$n=2$, como $a_0+a_1+a_2=4$, es fácil comprobar si todos los $a_i$ son menores o iguales a $4$, $P(5)=136$ no es alcanzable.
Está bien ... pistas.
¿Qué es lo que queda de $136$ dividido por $5,25, 125$ y $625$.
¿Qué dice eso sobre $P(5) = \sum_{k=0}^n 5^k a_k$ y los valores de $a_k$.
Y $P(1) = \sum_{k=0}^n 1^k\cdot a_k$. ¿Qué dice eso acerca de cuántos valores distintos de cero de$a_k$ hay y cuáles pueden ser sus valores máximos.
Espero que con estas pistas no solo puedas decir lo que $P(3)$ es, puedes expresar $P(x)$ con absoluta certeza.
Pista: dado que $P(1)=4$Estoy tentado a escribir $P(x) = x^{n_1}+x^{n_2}+x^{n_3}+x^{n_4}$ dónde $n_1,n_2,n_3,n_4$no son necesariamente distintos. Luego usando el hecho$P(5)=136$ debería ser más fácil.