Dejar $\{x_n\}$ ser una secuencia en $(0, 1)$ tal que $x_n \to 0$. Demuestre que la secuencia $\{f(x_n)\}$ converge.
Estoy tratando de resolver el siguiente problema:
Suponer que $f: (0, 1) \to \mathbb R$es uniformemente continuo. Dejar$\{x_n\}$ ser una secuencia en $(0, 1)$ tal que $x_n \to 0$. Demuestre que la secuencia$\{f(x_n)\}$ converge.
Creo que si acaso $f(x_n)$ converge, debería converger para $f(0)$ pero no estoy seguro de que esto se siga de qué teorema (?).
En segundo lugar, si dijéramos que tratamos con el intervalo $[0, 1]$ más bien que $(0, 1)$Creo que tengo una idea de cómo abordar. Ya que$f(x)$ sería uniformemente continuo en $[0, 1]$ para cada $\epsilon > 0$ tendríamos un $\delta_\epsilon$ tal que si $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ luego $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Ya que,$x_n \to 0$ Creo que siempre podemos elegir algunos $N \in \mathbb N$ tal que para $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Entonces tendríamos eso para todos$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ por alguna elección de $\epsilon > 0$.
Pero aquí estamos tratando con el intervalo abierto $(0, 1)$ más bien que $[0, 1]$ y como tal no se nos garantiza que para cada $\epsilon > 0$ tendríamos un $\delta_\epsilon$ tal que si $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ luego $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Esto se debe a que la definición de continuidad uniforme simplemente dice:
Dejar $(X, d_X)$ y $(Y, d_Y)$ ser dos espacios métricos y dejar $f: X \to Y$. Nosotros decimos eso$f$ es uniformemente continuo si para todos $\epsilon > 0$ hay un $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ tal que para todos $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.
Pero tenga en cuenta que en caso de $f: (0, 1) \to \mathbb R$ el punto $0$ no miente en $(0, 1)$! Entonces no tenemos garantizado que para todos$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, dónde $X = (0, 1)$ y $Y = \mathbb R$ en este contexto.
¿Alguna idea de cómo arreglar esta prueba? Además, ¿por qué debería$f(x_n)$ necesariamente converger a $f(0)$ Si $x_n \to 0$? ¿Es esta alguna propiedad especial de las funciones uniformemente continuas?
Respuestas
Mostrar, usando uniformemente la continuidad de $f$, ese $(f(x_n))_n$ es una secuencia de Cauchy. $f(0)$ no está definido en su entorno (el dominio de $f$ es $(0,1)$) así que no puedes concluir que $f(x_n) \to f(0)$. Sin embargo, desde$\Bbb R$está completa, la secuencia admite un límite. Observe que las funciones uniformemente continuas son continuas, por lo tanto, si una función$g$ definido en $[0,1]$ es uniformemente continua entonces, siendo en particular continua, es cierto que $g(x_n)\to g(0)$.
Un enfoque es utilizar el hecho de que si $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ es uniformemente continuo en $(a,b)$, luego $f$ admite una extensión única uniformemente continua para $[a,b]$. Para este caso, puede definir de forma única un valor de$f(0)$ tal que $f:[0,1)\to\mathbb{R}$es uniformemente continuo. Entonces puedes concluir que$f(x_n)\to f(0)$ por continuidad.
Para f (x) es continua, $\forall \epsilon, \exists \delta$ tal que cuando $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.
por $x_n\to 0$, $\exists N,$ tal que cuando $n>N, |x_n-0|<\delta$.
Por lo tanto $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ converge.
Corrección: como dijo @FormulaWriter, $f(0)$ no está claramente definido, por lo que es mejor reemplazar $f(0)$ arriba como $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.