Demostración de la imposibilidad de trazar un paralelo a través de un punto utilizando solo una regla.

Question

De las respuestas a esta pregunta , parece ser bien sabido que es imposible trazar un paralelo a una línea recta:$\ell$ a través de un punto: $P$, utilizando exclusivamente una regla.

¿Puede proporcionar una demostración de tal hecho?

Answer 1

Una construcción que usa solo una regla se puede transformar mediante una transformación proyectiva (también conocida como homografía) .

Suponga que tiene una construcción con regla para una línea $m$ a través del punto $P$ paralelo a la línea $\ell$. Supongamos un mapa de transformación proyectiva$P\rightarrow P'$ y $\ell\rightarrow \ell'$. Entonces la misma construcción produciría una línea$m'$ que en general no es paralelo a $\ell'$. Así que tenemos una contradicción y no existe tal construcción con regla.

La demostración es un poco más convincente si la transformación proyectiva deja $P$ y $\ell$invariante. En ese caso, la misma construcción produciría dos líneas diferentes, cuando se aplica antes y después al mismo punto y línea.