Demostración$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$
Aug 19 2020
Dejar$K = \mathbb{C}[[h]]$sea el álgebra de series de potencias formales del campo complejo y sea$K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. Estoy tratando de entender el siguiente isomorfismo:
$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$
¡Gracias!
Respuestas
2 FabioLucchini Aug 18 2020 at 23:48
La afirmación se cumple para toda álgebra conmutativa$B$sobre un anillo conmutativo$A$y$A$-módulos$M,N$. Esto se sigue de esta cadena de$B$-isomorfismos del módulo:\begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}