Demostrando el adjunto $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$

Question

Recuerdo que $\Delta$ es la categoría cuyos objetos son de la forma $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ y los morfismos son mapas que conservan (débilmente) el orden.

Dejar $\mathcal{C}$ ser una categoría y dejar $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ ser la categoría functor de objetos cosimpliciales en $\mathcal{C}$.

Hay un functor $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ que toma un objeto cosimplicial $X[-]$ a su valor en $0$, $X[0]$.

También hay un functor $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ tomando un objeto $C$ al functor constante $rC$ tal que $rC[n]=C$ para todos $n$.

Leí la afirmación de que tenemos un adjunto $$\text{ev}_0 \dashv r$$ y me gustaría probarlo.

Dada una transformación natural $\eta: X[-] \Rightarrow rC$, Por supuesto que puedo enviarlo al mapa $\eta_0:X[0]\to C.$

Por otro lado, puedo considerar el diagrama $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ donde cada uno $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ es inducida por la sobreyección $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ enviando $n \mapsto n-1$ y $i \mapsto i$ para todos $i<n$.

Entonces, dado un mapa $f:X[0] \to C,$ Puedo definir inductivamente $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$

Creo que si pruebo esta familia $\{f_i\}_i$define un mapa de conjuntos cosimpliciales, es decir, una transformación natural, he terminado. Pero no sé cómo hacer eso con mapas generales$X[i]\to X[j].$

Answer 1

Para cada $n$ hay un mapa único $!_n : n \to 0$ en $\Delta$. Suponer que$\alpha : X \implies r(c)$es una transformación natural. Luego por naturalidad en el mapa$!_n$, el componente $\alpha_n$ debe ser igual a $\alpha_0 \circ X(!_n)$. Por tanto, una transformación natural en$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ está completamente determinado por $\alpha_0$.

Por otro lado, si $\alpha_0 : X(0) \to c$ es un morfismo en $\mathcal{C}$ entonces podemos llevarlo a una transformación natural $\alpha : X \implies r(c)$ definiendo el componente $\alpha_m : X(m) \to c$ ser - estar $\alpha_0 \circ X(!_m)$. Esta es realmente una transformación natural porque si$f:n \to m$ en $\Delta$ luego $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$.