Demostrando que$(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$por un primo$q$acostado$p$
Dejar$f : A \to B$sea un morfismo entre anillos unitarios conmutativos. Así podemos considerar$B$-módulos como$A$-módulos a través de este mapa, y$A$-módulos como$B$-módulos vía tensorización con$- \otimes_A B$.
No dejes$M$y$N$ser$A$- y$B$-módulos respectivamente. dado un primo$q$de$B$y acostado sobre un primo$p$en$A$, lo sabemos$f$desciende a un mapa entre las respectivas localizaciones y, por lo tanto, se mantiene una correspondencia similar a la anterior para sus respectivos módulos.
quiero mostrar eso$$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$como$B_q$-módulos.
Mi razonamiento es el siguiente: dado que
$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$
y$N_q$es un$B_q$-módulo, es un$A_p$-módulo, por lo tanto$N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$y por lo tanto
$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$
Esto suena bien, pero estoy usando la "asociación del producto tensorial con respecto a diferentes anillos" sin que me importe mucho.
Se agradecería mucho un control de cordura y/o una referencia.
Respuestas
¡Tu argumento funciona! Simplemente has aplicado el hecho de que si$f : A\to B$es un morfismo de anillo,$M$es un derecho$A$-módulo,$N$es un$(A,B)$-bimódulo, y$L$es una izquierda$B$-módulo, entonces$(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$(ver aquí ). Llamemos a este hecho$(*).$Como sabes, si$M$es un$R$-módulo y$S\subseteq R$es un conjunto multiplicativo, entonces$S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$llamar a este hecho$(**).$Entonces su argumento es el siguiente cálculo:\begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}