Demostrar que cierto subconjunto es un subcomplejo de CW

Question

Tengo algunos problemas con un detalle en una prueba de la Topología algebraica de Hatcher (Prop. A.1 en la p. 520 para los interesados, aunque no creo que sea relevante): Tenemos un complejo CW$X$ y un $n$-celda $e_\alpha^n \subset X$, y la imagen del mapa adjunto de esta celda está contenida en un subcomplejo finito $A \subset X$. Hatcher afirma que$A \cup e_\alpha^n$es un subcomplejo finito, pero no veo por qué. Estoy tratando de mostrar que el límite de$e_\alpha^n$ está contenido en $A$pero no voy a llegar a ninguna parte. ¿Es cierto en general que el cierre de un$n$-¿La celda es su unión con la imagen de su mapa adjunto?

EDITAR: Me gustaría probar esto sin invocar el hecho de que los complejos CW son Hausdorff, ya que el libro aún no lo ha probado.

Answer 1

Es extremadamente, extremadamente fácil mostrar que un complejo CW es Hausdorff, inclúyalo en su prueba si le preocupa.

Con este hecho, el cierre de una celda abierta $e \rightarrow X$ es la imagen de $e \cup S^n \rightarrow X$dado por la inclusión de la celda abierta y el mapa característico en el límite. Esto es porque$e \cup S^n = D^{n+1}$es compacto, y la imagen de un conjunto compacto es compacta, lo que en un espacio de Hausdorff implica cerrado. Este es el conjunto cerrado más pequeño que contiene la imagen de$e$ ya que cualquier punto en la imagen del mapa característico está en el límite de la imagen de $e$.