Demostrar que existe$x_0$tal que$p(x_0) < q(x_0)$para los polinomios dados

Question

Si$p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$y$q(x) = x^2+px+q$ser dos polinomios con coeficientes reales. Supongamos que existe un intervalo$(r,s)$de longitud mayor que 2 tal que ambos$p(x)$y$q(x)$son negativos para$x \in (r,s)$y ambos son positivos para$x<r$o$x>s$. Demostrar que existe$x_0$tal que$p(x_0) < q(x_0)$

Ya que$q(x)$es cuadrática, por lo tanto$r$y$s$tienen que ser las raíces.

pero,$r$y$s$son también las raíces de$p(x)$asi que,$q(x)$tiene que ser un factor de$p(x)$, por lo tanto

$p(x) = q(x)g(x)$

Dónde$g(x)$es también un cuadrático. Pero eso es todo lo que pude conseguir. ¿Cómo proceder desde aquí? ¿Cómo haces uso de la condición?$s-r > 2$?

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

$r$y$s$son raices de ambos$p(x)$y$q(x)$y por lo tanto es también la raíz de$p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$dónde$|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

Asumamos$p(x) - q(x)$siempre es no negativo pero dadas sus raíces son$r$y$s$, solo es posible si$f(x)$es negativo siempre que$q(x)$es y$f(x)$es positivo siempre que$q(x)$es.

Eso significa que tiene raíces dobles en$r$y$s$es decir$p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

es decir$p(x) - q(x) = q(x)^2$

es decir$p(x) = q(x)(q(x)+1)$

es decir$1+q(x) \gt 0$como$p(x)$y$q(x)$tienen el mismo signo en absoluto$x$.

es decir$x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

Esto no puede ser cierto ya que su discriminante$(r-s)^2 - 4 \gt 0$como se indica en el problema. Entonces hay un valor de x donde$p(x) \lt q(x)$.

[Nota: función$ax^2+bx+c$tiene dos raíces reales si es discriminante$b^2-4ac \gt 0$]