Demuestre la ley de adición de tricotomía en $\mathbb{N}$ (Axiomas de Peano).

Aug 20 2020

Necesito ayuda en mi ley de adición de tricotomía de prueba $\mathbb{N}$(Axiomas de Peano). Ya he probado que la suma es asociativa y conmutativa. También probé la ley de cancelación y algunos lemas útiles. Ahora tengo problemas para probar la siguiente proposición:

Dejar $m,n \in \mathbb{N}$. Entonces, exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

  1. $m=n$
  2. Hay un numero natural $p \neq 0$ tal que $ m = n + p$.
  3. Hay un numero natural $q \neq 0 $ tal que $n = m + q$.

Mi intento

Primero, probé que dos de estas declaraciones no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Si $1), 2)$ son verdad, entonces $m=m+p$ y por ley de cancelación, $p=0$, contradicción. Esto es análogo a$1),3)$. Entonces, asuma$2),3)$. Luego,$m = m + q + p$, y por ley de cancelación, $ 0 = q + p \implies q=p=0$, una contradicción (probé esta última afirmación anteriormente). Entonces, no más de una afirmación puede ser verdadera.

Ahora, necesito demostrar que al menos $1$de las afirmaciones es verdadera para terminar la demostración, pero no sé cómo proceder. Sé que esta es una pregunta básica / clásica, pero no encontré ninguna publicación sobre esto en MSE. Si existe dicha publicación, hágamelo saber y disculpe la publicación.

Se agradece cualquier sugerencia.

Respuestas

1 DoctorWho Aug 20 2020 at 05:35

Primero probaremos eso para todos $n, m$, ya sea $\exists p (n + p = m)$ o $\exists p (m + p = m)$. Procedemos por inducción en$m$.

Caso base $m = 0$: entonces tenemos $m + n = 0 + n = n + 0 = n$.

Caso inductivo $m = S(k)$: nos dividimos en tres sub-casos basados ​​en la hipótesis inductiva y en el hecho de que cada número es sucesor o cero.

Subcase $k + p = n$ dónde $p = S(p')$: entonces tenemos $n = k + S(p') = S(k + p') = S(p' + k) = p' + S(k) = p' + m = m + p'$.

Subcase $k + p = n$ dónde $p = 0$: luego $k + 0 = k = n$. Luego$m = S(k) = S(n)$. Luego$m = S(n + 0) = n + S(0)$.

Subcase $n + p = k$: luego $n + S(p) = S(n + p) = m$.

Así, hemos demostrado que para cada $n$, $m$, ya sea $\exists p (n + p = m)$ o $\exists p (m + p = n)$.

Ahora deseamos demostrar que para cada $n, m$, tenemos al menos uno de $n = m$, $\exists p (n + S(p) = m)$y $\exists p (m + S(p) = n)$.

Ahora suponga que WLOG $\exists p (n + p = m)$. Nos dividimos en dos casos. En primer lugar, suponga que$p = 0$. Entonces tenemos$n = m$. En segundo lugar, suponga que podemos escribir$p = S(p')$. Entonces tenemos$n + S(p') = m$. El caso$\exists p (m + p = n)$ es similar.

Claramente, esto es suficiente para mostrar que al menos una de las opciones en su tricotomía es válida.