Demuestre o refute hechos básicos sobre una serie subvergente (definición inventada)

Question

Soy un análisis real de autoaprendizaje de Understanding AnalysisStephen Abbot. Me gustaría preguntar si he deducido las conclusiones correctas de las siguientes afirmaciones sobre una serie subvergente (definición inventada).

$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$

Definición . Digamos que una serie subverge si la secuencia de sumas parciales contiene una subsecuencia que converge.

Considere esta definición (inventada) por un momento, y luego decida cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones válidas sobre series subvergentes:

(a) Si $(a_n)$ está acotado, entonces $\sum a_n$ subverges.

(b) Todas las series convergentes son subvergentes.

(c) Si $\sum \absval{a_n}$ subverge, entonces $\sum a_n$ subverges también.

(d) Si $\sum a_n$ subverge, entonces $(a_n)$ tiene una subsecuencia convergente.

Prueba. (a) Esta proposición es falsa. Como contraejemplo, considere la secuencia$(a_n):=1$. La secuencia de sumas parciales es$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. Sin subsecuencia de$(s_n)$converge. Entonces,$\sum {a_n}$ no es subvergente.

(b) Dado que la serie es convergente, la secuencia de las sumas parciales converge y, por lo tanto, cualquier subsecuencia de sumas parciales también converge al mismo límite. Por tanto, todas las series convergentes son subvergentes.

(c) Creo que esta proposición es cierta. Dejar$(s_n)$ ser la secuencia de sumas parciales de los valores absolutos y $(t_n)$ ser la secuencia de sumas parciales de la serie $\sum a_n$.

Por definición de subvergencia, hay alguna subsecuencia $(s_{f(n)})$ de $(s_n)$que converge. Sin pérdida de generalidad, asuma$(s_{2n})$es una de esas subsecuencias convergentes. Entonces, existe un$N \in \mathbf{N}$ tal que, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}

para todos $n > m \ge N$.

Usando este hecho, podemos escribir una buena desigualdad para la subsecuencia $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}

para todos $n \ge N$.

Como lo anterior es válido para todas las subsecuencias $(s_{f(n)})$ dónde $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ es una biyección, $\sum a_n$ es subvergente.

(d) No puedo pensar en un contraejemplo para esto.

Answer 1

• Para a) tu prueba está bien
• Para b), ok también
• Para c), habría escrito:

Vamos $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ y $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ para todos $n$.

Entonces para todos $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ y $a_n = a_n^+ - a_n^-$.

Ya que $\sum |a_n|$ es subvergente, y $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ y $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$, tenemos eso $\sum a_n^+$ y $\sum a_n^-$ son subvergentes, entonces la suma $\sum a_n$ es subvergente.

(El hecho de que si $\sum u_n$ converge con $(u_n)$ positivo, entonces para todos $(v_n)$ positivo tal que $\forall n,v_n\leqslant u_n$ subverges merecería una prueba, pero no es tan difícil)

• Para d) defino $(a_n)$ tal que para $n\geqslant 0$,

$a_{2n} = -n$ y $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.

Entonces $\sum a_n$ converge desde (si notamos $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ converge cuando $n\rightarrow +\infty$.

Pero claramente no tenemos una subsecuencia que converja.