Demuestre que esta familia es equicontinua en $0$
Dejar $E$ ser un espacio vectorial normalizado, $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ para compacto $K\subseteq E$ y $\sigma_c(E',E)$ denotar la topología inicial con respecto a $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, es decir, la topología del subespacio en $E'$ heredado de la topología de la convergencia compacta en $C(K)$.
Dejar $\mathcal C\subseteq C(E')$ ser uniforme $\sigma_c(E',E)$-equicontinuo.
¿Por qué podemos concluir que $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
Lo más probable es que el reclamo deseado sea trivial de obtener, pero no puedo ver cómo debido a la configuración bastante complicada.
$(1)$ es obviamente algún tipo de equicontinuidad en $0$. No estoy seguro de si es relevante, pero según el teorema de Banach-Alaoglu$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ es $\sigma_c(E',E)$-compacto para todos $\delta>0$.
Respuestas
Recuerde la definición de equicontinuidad uniforme de$\mathcal{C}$ como un conjunto de mapas $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:
Para cada barrio $V \subseteq \Bbb{R}$ de $O$ hay un barrio $U$ de $0$ en $(E',\sigma_c(E',E))$ tal que $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
Ahora para $\psi = 0$ y $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$, tenemos un vecindario $U$ de $0$ tal que $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ siendo un barrio de $0$ contiene una intersección de un número finito de bolas abiertas alrededor del origen de los radios $\delta_1, \ldots, \delta_k$ con respecto a las seminormas de conjuntos compactos $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ Conjuntos $K_k$ están delimitados en norma por algunos $M_k > 0$ así que si establecemos $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ entonces para cualquier $\varphi \in E'$ tenemos $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ para todos $k=1, \ldots, n$ entonces $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
Si no me equivoco, esto debería ser una instancia de un resultado más general: Let
- $(X,\tau)$ ser un espacio topológico;
- $Y$ ser un normalizado $\mathbb R$-espacio vectorial;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ para $\tau$-compacto $K\subseteq X$ y $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ ser un espacio métrico;
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ ser continuo con respecto a la topología convexa local en $C(X,\tau;Y)$ generado por $P$ y la métrica $d$ en $Z$.
Entonces vemos fácilmente que $f$ es continuo con respecto a la norma $\overline p$ en $C(X,\tau;Y)$ generado por $P$ y la métrica $d$ en $Z$: Dejar $f\in C(X,\tau;Y)$ y $\varepsilon>0$. Por el supuesto de continuidad en$F$, hay un $P$-Barrio $N$ de $f$ con $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ Dejar $U_p$ denotar la bola de unidad abierta en $$C(X,\tau;Y)$$ con respecto a $p\in P$. Podemos escribir$N=f+N_0$ para algunos $P$-Barrio $N_0$ de $0$. Además, hay$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-compacto $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ y $\delta_0>0$ con $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ Ahora deja $\delta\in(0,1)$ con $\delta\le\delta_0$. Entonces,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ y por lo tanto $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ es decir $f$ es continuo en $f$ con respecto a la topología convexa local en $C(X,\tau;Y)$ generado por $P$ y la métrica $d$ en $Z$.
Alternativamente, el resultado se habría seguido inmediatamente al señalar que la topología generada por $P$ es más tosca que la topología generada por $\overline p$, como se discute aquí .
Ahora si $X$ es una norma $\mathbb R$-espacio vectorial y $\tau$ es la topología generada por $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, entonces $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ y de ahí la topología generada por $\left\|\;\cdot\;\right\|$ es más tosca que la topología de operador uniforme (es decir, la topología generada por $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$). Entonces, inmediatamente obtenemos que$F$ es continua con respecto a la topología generada por $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ y la métrica $d$ en $Z$ también.