Densidad máxima de un conjunto sin patrón fijo
Considere un conjunto finito $S$ de enteros no negativos.
¿Cuál es la densidad natural máxima de un subconjunto infinito de $\mathbb{Z}$ que no contiene ninguna traducción de $S$?
Por supuesto, esto dependerá de $S$, pero tal vez haya un algoritmo o caracterización simple. También me interesa la misma pregunta en$\mathbb{Z}^k$.
¿Se han investigado las preguntas anteriores de alguna forma? No se me ocurrió una consulta de búsqueda que devuelva nada.
Respuestas
La pregunta equivale a encontrar la densidad mínima de un recubrimiento de $\mathbb{Z}$ por traducciones de $-S$. Este problema se ha estudiado para los enteros y también para otros grupos; ver por ejemplo
Wolfgang M. Schmidt y David M. Tuller, Cubriendo y empacando $\mathbb{Z}^n$ y $\mathbb{R}^n$, http://dx.doi.org/10.1007%2Fs00605-009-0099-x
Béla Bollobás, Svante Janson y Oliver Riordan, Sobre la cobertura por traducciones de un conjunto, https://doi.org/10.1002/rsa.20346