Derivación de la transformación de paso bajo a paso de banda

Question

Tengo una pregunta básica.

La transformación "bien conocida" de paso bajo a paso de banda es $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ que da una función de transferencia de paso de banda de $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$

Mi intuición es que un paso de banda debería ser el producto de un paso bajo y un paso alto. Sin embargo, este producto ofrece una función de transferencia diferente:$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ lo que indica que la transformación de paso de banda no da esta cascada de paso bajo y paso alto.

• Mi pregunta es, ¿cómo se diseña la transformación de paso de banda, en términos de combinación de filtros de paso bajo o por ubicación de polos?

• Pregunta relacionada, pero usando una técnica de derivación diferente, y se hace referencia a la derivación de paso bajo / paso alto, pero no se muestra: ¿Cómo se deriva la transformación de paso bajo a paso de banda?

Answer 1

Tiene razón en que la multiplicación de un filtro de paso bajo y un filtro de paso alto da como resultado un filtro de paso de banda, siempre que la frecuencia de corte del paso bajo sea más alta que la frecuencia de corte del paso alto. El problema con ese enfoque es que los filtros de paso bajo y paso alto con respuestas de magnitud óptimas de acuerdo con algún criterio elegido (Butterworth, Chebyshev, Cauer) no darán como resultado un filtro de paso de banda óptimo.

Por otro lado, el mapeo de un único filtro óptimo resultará en otro filtro óptimo. Utilizando$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$, dónde $\omega_l$ y $\omega_u$ son los bordes de la banda superior e inferior, respectivamente, y $\omega_0$ es la frecuencia central del filtro de paso de banda, y dejando fuera las constantes en aras de la simplicidad, la transformación se puede escribir como

$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$

[Tenga en cuenta que $\omega_l$ y $\omega_u$ se denotan como $\omega_1$ y $\omega_2$ en el OP, pero se usan de una manera diferente en la siguiente figura.]

El mapeo $(1)$ mapas DC ($\omega=0$) a la frecuencia central deseada $\omega_0$. Además,$s=\pm\infty$ está mapeado a $s=0$ y $s=\infty$. Así que todo el eje de frecuencia del filtro de paso bajo se asigna al eje de frecuencia positivo del filtro de paso de banda. (Lo mismo es cierto para el semieje negativo del filtro de paso de banda):

(de: Diseño de filtros digitales de Parks y Burrus)