Derivada de bases covariantes y controvariantes
como mostrar eso
$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$
dónde$\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$y$\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$¿Son la base y el vector de base dual de alguna variedad?
¿Cualquier sugerencia?
¡Gracias!
Respuestas
¿Dónde encontraste esta afirmación? la primera expresión${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$no es covaraint. Si uno escribiera en su lugar${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$entonces tiene sentido porque el símbolo de Christoffel está definido por$$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$donación
$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$y con$\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $y siendo la acción de la derivada covariante sobre un covector$\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$obtenemos$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$Entonces difieren por al menos el signo menos.
(Perdón por seguir editando, sigo cometiendo errores tontos)