Descomponer el polinomio simétrico $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ en polinomios simétricos elementales.
El método que estoy tratando de utilizar implica (cuando no todos los exponentes son iguales, por ejemplo $\Sigma{x_1x_2^2}$) extrayendo repetidamente el monomio con los exponentes iguales más altos posibles (por lo que para el ejemplo de exponente desigual anterior $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) o mover el exponente fuera de la suma cuando todos los exponentes son iguales, como en el título de la pregunta, es decir, la que estoy preguntando, por lo que el primer paso aquí es $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. Obviamente esto es$E_3^2$, junto con los términos que deben restarse, según la cantidad de variables en común entre los 2 $E_3$'pecado $E_3^2$: 0, 1 o 2. Si no hay ninguno en común, puede utilizar cualquiera de los $E_3$es para determinar la elección de 3 de un total de 6 indeterminados, por lo que el término es $2E_6$. Mi pensamiento fue, si 1 indeterminado es en común, obtienes una expresión que debe desglosarse más, es decir$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, que se multiplicará por $E_2$. De manera similar, si 2 indeterminados son en común, obtienes una expresión que debe desglosarse más, es decir$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, que se multiplicará por $E_1$. Hasta ahora, mi intento de resolver esto parece estar dirigiéndose hacia la respuesta del libro, que es$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. Pero mi siguiente paso para seguir descomponiendo$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ y $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ condujo a términos mucho más complicados, sin ninguna cancelación que pudiera ver para conducir a un conjunto más simple de términos que involucran solo $E_1E_5$, $E_2E_4$y $E_6$ restar de $E_3^2$. Además, el libro agrega el$E_1E_5$término de regreso, lo que sugiere que hay una secuencia de descomposiciones que me estoy equivocando, tal vez involucrando la cancelación. ¿Alguien puede mostrar dónde me estoy equivocando?
Respuestas
La clave de su error es que cada conjunto de $E_6$ no aparece simplemente dos veces, en realidad aparece ${6 \choose 3} = 20$veces. Por otro lado, dado un$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ en realidad hay ${4 \choose 2} = 6$ formas de configurar la misma expresión, mientras $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$solo tiene dos formas de configurarse. Además, los nuevos monomios creados no son tan simples como sus ejemplos, lo cual es fácil de ver ya que toda la expresión debe ser de grado 6.
Para explicar, dado un monomio $abcdef$ en $E_6$, puedes crear este monomio a través de $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$, etc. Todas las formas de elegir 3 elementos de 6 trabajos. Dado$abcde^2$ en $E_5E_1$, puedes crear el monomio a través de $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$, etc. Todas las formas de elegir 2 elementos de 4 trabajos. Este proceso exacto se utiliza para determinar los coeficientes en el cálculo siguiente.
Dado que este cálculo es tan propenso a errores, simplemente haré todo el cálculo de principio a fin, luego puede comparar sus resultados con estos pasos.
Notación: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, dónde $S_n$ es una notación alternativa para polinomios simétricos elementales y $P_{a,b,c...}$ es la abreviatura tipo Muirhead.
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (Resultado 1)
$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (Resultado 2)
$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (Resultado 3)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (Usando los resultados 1 y 2 -> resultado 4)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (Utilizando los resultados 4 y 3 -> Respuesta)
Y hemos terminado. Todo es trabajo cuidadoso y computación, nada loco.