Desigualdad diferencial con respecto a la comparación de volumen
Dejar $(M,g)$ ser un completo $n$-variedad Riemanniana dimensional y dejar $p \in M$. Considerar$(t,\Theta)$ , las coordenadas esféricas geodésicas alrededor $p$, dónde $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ y $\Theta$ es un vector unitario en $T_pM$. Dejar$A_p(t,\Theta)$ser la densidad de la medida de volumen en estas coordenadas, es decir, \ begin {ecuación *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {ecuación *} Un teorema bien conocido de los estados de Gromov eso si$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, entonces el mapa \ begin {ecuación} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {ecuación} no es -aumentando en$t$. Como siempre,$sn_{\kappa}$viene dado por \ begin {align *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {cases} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & k> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {cases} \ end {align *} Ahora me gustaría demostrar un resultado similar cuando la curvatura seccional de$M$está limitado desde arriba. Es decir, si$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, entonces
\ begin {ecuación *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ derecha) + \ kappa \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ right) \ geqslant 0 \ end {ecuación *} I ' Estoy tratando de imitar el argumento de Gromov, dejando$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ y calcula eso $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, dónde $\text{II}(t)$ es la segunda forma fundamental de $\partial B(p,t)$. Pero como no estamos probando una declaración sobre la monotonicidad, no sé cómo puedo deshacerme del poder$(n-2)$. Diferenciar tal expresión directamente parece intimidante y tedioso, y creo que hay un atajo al problema, ya que es muy similar a la estimación de la norma de los campos de Jacobi. Se agradecerá cualquier conocimiento del problema.
$\textbf{Update}$: El otro día pensé que tenía una solución, pero después de volver a verificarla, no creo que funcione. Esto es lo que hice: dejar$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ uno puede usar el truco del cálculo $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $para calcular que \ begin {align *} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {align *} y que \ begin {align *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ end {align *} Tenga en cuenta que$\varphi(t)$ no es negativo cuando $t$es pequeña, por lo que para mostrar que la desigualdad original es verdadera, basta con mostrar que \ begin {ecuación *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {ecuación *}
Recuerde que la segunda estimación de comparación (cf Peterson, página 145 Cor 2.4) establece que si la curvatura seccional está acotada arriba por $\kappa$, entonces cada componente de la segunda forma fundamental se puede acotar desde abajo, es decir, \ begin {ecuación *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {ecuación *} lo que nos da \ begin {ecuación} \ text {tr } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ etiqueta{$\star \star$} \ end {ecuación} y \ begin {ecuación *} \ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {ecuación *} Pensé que volvía a insertar esta expresión$\star$resolverá el problema, ya que \ begin {ecuación *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)})' + ( \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {ecuación *} Pero hice un error fatal al declarar que$f \geqslant g$ implica $f' \geqslant g'$! Parece que he vuelto al punto de partida, aunque tengo una expresión relativamente agradable. Se agradecería cualquier idea o ayuda.
Respuestas
Entonces mi profesor me dio una idea de cómo resolver este problema. Después de obtener la \ begin {ecuación *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Parte A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Parte B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {ecuación *} Podemos usar la ecuación de Riccati para reescribir \ begin {align *} \ text {Part A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {align *} Y después de expandir$\text{Part B}$, $\star$se convierte en \ begin {align *} & \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Parte A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Parte B}} + \ kappa \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {align *} donde$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ son los valores propios de $\text{II}(t)$. La última desigualdad se deriva de la comparación hessiana, que se indica en el Corolario 2.4 del libro de Petersen.