Determinar el cierre de un set

Question

Permitir $ (V,\|\cdot\|) $ un espacio vectorial con una norma $ \|\cdot\| $. Considere para un arbitrario$ x \in V $ un $ \varepsilon $-bola de $ x $: $$ B_\varepsilon (x) = \{y\in V:\ \|x-y\|<\varepsilon\}. $$

Entonces el cierre de esta bola es: $$ \overline{B_{\varepsilon}(x)}=\{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

Problema: no puedo comprender cómo se llega a esta expresión. Solo conozco este tipo de definición de cierre de un conjunto:

Permitir $ (X,d) $ un espacio métrico y $ T\subseteq X $. El conjunto $$ \overline{T}=\bigcap(\{A\subseteq X:\ A\supseteq T\text{ is closed}\}) $$ se llama cierre de $ T $.

Al principio conecté el $ \varepsilon $-ball en esta definición:

$$ \overline{B_\varepsilon(x)}=\bigcap(\{A\subseteq V:\ A\supseteq B_\varepsilon(x)\text{ is closed}\}) $$

De aqui no tengo ni idea de como llegar la identidad $$ \overline{B_\varepsilon (x)} = \{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

Answer 1

Si $C$ está cerrado y contiene $B_{\epsilon} (x)$ entonces contiene $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$: Tomar cualquiera $y$ con $\|x-y\|\leq \epsilon$ y considerar Let $0<t<1$ y $z=x+t(y-x)$. Luego$z \in B_{\epsilon} (x)$. Tenemos que demostrar que$y \in C$. Si no entonces$y$ está en el set abierto $C^{c}$ entonces existe $r>0$ tal que $B_{r} (y)\subseteq C^{c}$. Pero$\|z-y\| <r$ Si $t >1-r/\|x-y\|$. Así$z \in C^{c}$ que es un subconjunto de $B_{\epsilon} (x)^{c}$. Llegamos a una contradicción. [$A^{c}$ denota complemento de $A$]. Hemos probado que$ \{x: \|x-y\|\leq \epsilon\} \subseteq \overline {B_{\epsilon} (x)}$.

La inclusión inversa se deriva del hecho de que $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$ es en sí mismo un conjunto cerrado que contiene $B_{\epsilon} (x)$.