Determinar la convergencia de una serie.
Aquí está la serie:$$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$El método que utilizo para determinar esta serie es la prueba de comparación, que consiste en construir la siguiente secuencia:$$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Lo cual forma una serie convergente donde cada término es mayor que los términos de la serie anterior, por lo que determino que la serie anterior es convergente. Sin embargo, no sé si tengo razón o no. Por lo tanto, si estoy equivocado, dígame cómo hacerlo correctamente o, si estoy en lo correcto, confírmelo o bríndeme un método alternativo para determinar la convergencia de las series anteriores para la discusión. Gracias.
Respuestas
Honestamente, a menos que haya una instrucción explícita para usar alguna prueba, prefiero pensar en este tipo de series en términos de la prueba de comparación límite (LCT) , en lugar de la prueba de comparación (CT).
La declaración habitual de la LCT es algo así: Supongamos que$\{ a_n \}$y$\{ b_n\}$son secuencias con$a_n \ge 0$,$b_n > 0$para todos$n$. Si$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$existe y es distinto de cero, entonces$\sum a_n$y$\sum b_n$convergen juntos, o divergen juntos.
La LCT se preocupa menos por la dirección de la desigualdad (a diferencia de la CT donde tienes que verificar ciertas desigualdades que pueden ser molestas), y más por las asintóticas, lo que la hace mucho más poderosa. En cuanto a buscar el apropiado$b_n$usar como punto de comparación? La idea habitual es mirar los términos más dominantes (es decir, los términos que aumentan hasta el infinito más rápido) en el numerador y el denominador.
En tu ejemplo, el término dominante en el numerador es$\sqrt{n}$, mientras que el término dominante en el denominador es$n^8$. Esto sugiere que utilicemos$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, que de hecho funciona muy bien aquí. Obtenemos$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, y sabemos$\sum b_n$converge por la$p$-prueba. Por lo tanto, también lo hace la serie original.
Este método tiene su propio nombre Prueba de comparación directa y establece lo siguiente:
si serie$\sum b_n$converge y$0 \leqslant a_n \leqslant b_n$para suficientemente grande$ N \in \mathbb{N}, n> N$, después$\sum a_n$también converge.
retiene$\sum a_n \leqslant \sum b_n$si la comparación es$\forall n \in \mathbb{N}$.
Si$\sum a_n$diverge, entonces$\sum b_n$es divergente
En el libro: Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey - Intermediate Calculus-Springer (2012) - página 105, Teorema 9.
Tu solución está bien, pero te sientes un poco inseguro, déjame mostrarte por qué funciona la prueba: una serie$\sum_{k= 1}^\infty a_k$, por definición, representan el límite de la secuencia de sus sumas parciales$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, por$s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.
cuando cada uno$a_k$es positivo entonces la secuencia$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$es una secuencia de números reales positivos que es estrictamente creciente, por lo que se puede demostrar que converge si y solo si está acotada .
Si$a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$entonces es fácil ver que$0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$para cada$k\in \mathbb N $, y entonces
$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$
$\Box$