determinar si$f(x)=x^2$es uniformemente continua en el dominio dado.

Question

Determine si la siguiente función es uniformemente continua en el dominio dado.

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

Mi intento:

para el dominio$[0,\infty]$. Dejar$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

Después$|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Pero,$|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Después$f(x)=x²$no es uniformemente continua en el dominio$[0,\infty]$

para el dominio$[0,1]$. Dejar$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

Después$|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Pero,$|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Después$f(x)=x²$no es uniformemente continua en el dominio$[0,1]$

No estoy seguro si mi método es correcto. ¡Cualquier sugerencia seria genial!

Answer 1

Otra forma de ver que la función es uniformemente continua en$[0,1]$sin usar el teorema de Heine es demostrar que se cumple la definición de continuidad uniforme.

De hecho, deja$\varepsilon > 0$. Dejar$\eta = \varepsilon/2$. Para todos$x,y \in [0,1]$tal que$|x-y|<\eta$, tú tienes$$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

Entonces la definición se cumple.

Answer 2

Su método para el dominio$[0,\infty)$es correcto, y su resultado también es correcto. Pero para el dominio$[0,1]$, no funciona, ya que tu elegido$x_n,y_n$no están en el dominio. En su lugar, podría utilizar el hecho de que las funciones continuas en dominios compactos son uniformemente continuas.

Answer 3

Ciertamente es uniformemente continuo en$[0,1]$. En general, una función continua siempre será uniformemente continua en un conjunto compacto (como señaló @Bungo en los comentarios).

Para abordar la pregunta en los comentarios:

Por ejemplo, para cualquier$\varepsilon$, si solo tomamos$\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, tenemos$$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

La respuesta de PS @TheSilverDoe es mucho más clara, así que la revisaría :)