Determine todos los números complejos que satisfacen condiciones -$|z|=2$ $\space$y$\space$Estoy$(z^6)=8$Estoy$(z^3)$
Determinar todos los números complejos$z$que satisfacen las siguientes condiciones:
$|z|=2$ $\space$y$\space$Estoy$(z^6)=8$Estoy$(z^3)$
Primero calculé$z^3$y$z^6$.
$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$
$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$
$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$
Luego pongo partes imaginarias en la ecuación Im$(z^6)=8$Estoy$(z^3)$y me siguen
$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$
$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$(*)
$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$(1)
de$|z|=2$sigue$\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$(2)
después de poner (2) en (1) obtuve
$x^3-3x=1$
y entonces$x=2\cos\varphi$
ecuación$8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$se puede transformar en
$2\cos3\varphi=1$(Obtuve esto con la ayuda de la identidad de$\cos {3x}$)
y entonces
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$
$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$,$\space$ $k \in \mathbb{Z}$
La solución escrita de otra manera es
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$
En línea con (*) expresiones$3x^2-y^2$son tachados. eso lo tenemos que incluir
$3x^2-y^2=0$
$3x^2-(4-x^2)=0$
$4x^2=4$
$x^2=1$
$(2\cos\varphi)^2=1$
$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$
Después de resolver esta ecuación obtenemos
$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$
Solución de mi libro de texto:
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$.
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$.
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$.
¿Alguien puede ayudarme a encontrar un error?
Si encuentra un error, siéntase libre de editar. En la imagen de abajo están las 10 soluciones.

Respuestas
Es más corto resolver con la forma exponencial de$z$: ya que su módulo es$2$, podemos escribir$\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$. y la ecuación de las partes imaginarias se convierte en$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$de donde esta simple ecuación trigonométrica estándar$\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$. Sus soluciones son$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$Una forma abreviada de las soluciones en$\theta$sería$$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$
Sin pérdida de generalidad, podemos reducir las ecuaciones a$$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$
A partir de esto, podemos decir que cuando$z=\omega_i$(dónde$\omega_i$son las raíces cúbicas de la unidad), las ecuaciones definitivamente serán verdaderas.
Después de eso, usa las expansiones polinómicas para$z^6 $y$z^3$considerando$z=x+i y$que está resolviendo efectivamente$$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$con la condición de que$$x^2+y^2=1$$que es un círculo unitario.
Puede acceder al siguiente gráfico aquí

Las intersecciones del gráfico negro con el círculo rojo y los puntos azules con coordenadas etiquetadas son las soluciones requeridas.