Diagramas de nudos no alternos

Aug 19 2020

(Pregunté esto en MSE hace unos días sin una resolución clara).

Comience con una curva cerrada que se interseque a sí misma, donde todos los cruces sean transversales. Ahora forme algo como lo opuesto a un diagrama de nudos alternos de la siguiente manera. Comenzando en cualquier lugar, atraviese la curva y, en cada cruce no visitado anteriormente, pase por encima. Si el cruce ha sido visitado previamente, deje la designación de cruce asignada.

A continuación se muestran dos ejemplos. (a) es claramente el desanudado. (b) es también el desatado, quizás no tan obviamente.


El círculo rojo indica el punto de partida, la flecha la dirección transversal.


Esperaba que estos diagramas representaran obviamente el desatado, pero no veo una prueba clara. Asi que:

P. _ Demostrar (o refutar) que tal diagrama de nudo siempre representa el desanudado.

Respuestas

6 Wojowu Aug 19 2020 at 05:15

Parametricemos la curva plana por$\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$y asumir$\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. Entonces su curva es el diagrama de nudo del nudo que está parametrizado por$K:[0,2]\to\mathbb R^3$dada por$$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(Esencialmente, imagine suspender su nudo en un palo, de modo que la cuerda baje a una velocidad uniforme). Luego podemos "desenrollar" este nudo. Es decir, desde$\gamma$solo pasa$(0,0)$en los extremos, podemos escribir$\gamma(t)$en coordenadas polares por$(r(t),\phi(t))$con$r,\phi$continuo en$(0,1)$. Entonces podemos desanudar$K$por la siguiente secuencia de nudos$K_s$, que comienza con un nudo y termina con$K$, escrito en coordenadas cilíndricas:$$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$