dimensión de un módulo y módulos simples

Question

Estoy tratando de entender estos nuevos conceptos. Supongamos que tengo un escenario donde$V$ es un módulo gratuito y también $V$ es un módulo de dimensión finita, si V es simple, debe $V$ ser dimensión $1$?

Def:

Se dice que un módulo es simple si cualquier submódulo de dicho módulo es $\{0\}$ o sí mismo.

Mi pensamiento es que si tenemos un $A$-módulo $V$ que resulta ser también de dimensión finita, entonces di $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, con los escalares provienen de $A$, entonces seguramente si tomamos cualquier subconjunto adecuado de tales vectores base, su intervalo sería un submódulo adecuado de $V$? Por lo tanto$V$ es simple solo si $n=1$? (por supuesto, lo contrario no es cierto, si$n=1$ entonces no sería necesariamente simple)

Siento que hay algo mal en mi argumento, debo haber confundido algo de los módulos con Álgebra lineal.

Answer 1

Si $V$ es simple, debe $𝑉$ ser dimensión 1?

No La simplicidad de un módulo de álgebra sobre un campo no dice mucho sobre su dimensión.

Considere el anillo de matriz $R=M_2(F)$ para un campo $F$.

Entonces $F\times F$, visto como un derecho $R$ módulo que utiliza la multiplicación de matrices, es un módulo simple que es $2$ dimensional sobre $F$.

Otro ejemplo con la misma idea: dejemos $V$ ser un espacio vectorial de dimensión infinita, y $E$sea ​​su anillo de transformaciones lineales. Entonces$V$ es de hecho un simple $E$ módulo, y aún $V$ tiene infinito $F$ dimensión.

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Todo esto supone que usted quiso decir "dimensión" en la forma en que se usa más comúnmente: como un invariante de un espacio vectorial. Si de hecho se refería a algún otro tipo de dimensión, tendrá que especificar. Hay varios de los que podría estar hablando. Por ejemplo, si por dimensión te refieres a "longitud de composición", entonces sí , un módulo simple tiene longitud de composición$1$.