Discutir la existencia y singularidad de un problema de Cauchy

Question

No sé qué está pasando con este ejercicio. Necesito ayuda porque estoy bastante perplejo.

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Considere el problema de Cauchy

\ begin {cases} y '= \ frac {2} {t} y + 2 t \ sqrt {y} \\ y (1) = 0 \ end {cases}

Estudia la existencia y la singularidad

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Aquí $$f(t,y)=\frac{2}{t} y + 2 t \sqrt{y}$$ Ya que $y\geq0$ (Tengo la raíz cuadrada), lo considero como barrio abierto $K = \{t: |t-1|< r_1 \} \times \{y: 0 < y < r_2 \}$, pero de esta manera tengo problemas con $$f_y(t,y)= \frac{2}{t} + \frac{t}{\sqrt{y}}$$ porque es discontinuo en $y=0$.

Así que debería buscar una condición más débil como continuidad de Lipschitz: tomo $(t,y_1)$ y $(t,y_2)$ en $K$:

$$|\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr) + 2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| \leq |\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr)| + |2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| $$

pero el segundo término de la desigualdad es bastante problemático: es como demostrar que $x \mapsto \sqrt{x}$ es Lipschitz para $x\geq0$, que se sabe que es falso.

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Entonces, no puedo aplicar el teorema en realidad ... ¿Me equivoco? Si es así, ¿cuáles son mis errores?

Answer 1

El derecho $f(t,y)$, definido en $\Omega := (0, +\infty) \times [0,+\infty)$, es continuo en $\Omega$pero no es localmente Lipschitz continuo. Por tanto, el teorema de Peano garantiza la existencia local, pero la unicidad no tiene por qué ser válida (y, de hecho, en nuestro caso tenemos más de una solución).

Más lejos, $f$ es sublineal en $y$, significa que $|f(t,y)| \leq a(t) + b(t) |y|$ para algunas funciones continuas $a, b \in C((0,+\infty))$, de modo que todas las soluciones sean globales (lo que significa que cada solución admite una extensión en $(0,+\infty)$).

Calculemos las soluciones del problema de Cauchy dado. Una solución es la función constante$y(t) = 0$, $t\in (0,+\infty)$.

Otras soluciones se bifurcan de la solución constante en algún momento $\tau \geq 1$. Para encontrarlos, primero calculemos las soluciones estrictamente positivas de la ecuación diferencial. Con el cambio de variable$z = \sqrt{y}$ nos deja la ecuación lineal $z' = z/t + t$, cuyas soluciones son de la forma $z(t) = ct + t^2$, por alguna constante $c\in \mathbb{R}$. Recuerde que sólo nos interesan las soluciones positivas definidas en algún subintervalo de$(0,+\infty)$. El correspondiente$y$ son entonces de la forma $$ y_\tau (t) = t^2 (t- \tau)^2, \qquad t > \max\{\tau, 0\}, $$
dónde $\tau$es un parámetro real. Se ve fácilmente que, si$\tau \geq 1$, entonces $y_\tau$ se puede prolongar hacia la izquierda con el $0$ solución, obteniendo la solución global del problema de Cauchy $$ y_\tau(t) := \begin{cases} 0, & \text{if}\ t \in (0, \tau], \\ t^2(t-\tau)^2, & \text{if}\ t > \tau\,. \end{cases} $$ En conclusión, para cada $\tau \geq 1$la función anterior es una solución del problema de Cauchy. (Esta familia de soluciones se llama cepillo Peano).