Distinción entre producto interior de espacio dual y producto interior frente al cual una representación es unitaria
Cada espacio vectorial $|\vec{v}\rangle$ sobre el campo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ contiene un espacio dual, por lo que si hacemos una identificación entre los elementos en el espacio dual y el espacio vectorial original, parece que cada espacio vectorial viene naturalmente equipado con un producto interno, llamado producto interno del espacio dual.
Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos tenemos una representación del grupo de Poincaré donde nuestro espacio vectorial se puede denotar como $|p^{\mu},\sigma\rangle$ dónde $\sigma$denota índices de grupos pequeños. Sin ningún supuesto físico podemos decir que existe un espacio dual a este espacio, y que esto da lugar a un producto interno en nuestro espacio vectorial original.$\langle p,\sigma|p',\sigma'\rangle=\delta(p-p')\delta_{\sigma\sigma'}$. Ahora bien, este es UN producto interno pero no necesariamente EL producto interno contra el cual la representación del grupo de Poincaré es unitaria.
Pregunta : ¿Estoy en lo cierto al decir que para los estados de múltiples partículas el producto interno del espacio dual es \ begin {ecuación} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma' \ rbrace \ rangle = \ sum _ {\ text {todos los posibles emparejamientos de estados primados con estados no primados}} \, \, \, \, \ prod _ {\ text {pares}} \ delta (p_i-p_ {i ^ {'}}') \ delta _ {\ sigma_i \ sigma_ {i '}'} \ end {ecuación} mientras que hay otro producto interno distinto dado por la amplitud: \ begin {ecuación} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma '\ rbrace \ rangle = \ delta (\ sum p - \ sum p') \ mathcal {M} (\ lbrace p, \ sigma \ rbrace, \ lbrace p ', \ sigma' \ rbrace) \ end {ecuación}Queremos que la representación del grupo Poincaré sea unitaria frente a ambos productos internos. TLDR: ¿El producto interno del espacio dual y el producto interno contra el que queremos que nuestra representación sea unitariamente distinto?
Respuestas
Hacer una identificación entre el espacio dual y el espacio original es totalmente equivalente a elegir un producto interior. Hay infinitas formas de identificar$V$ con $V^*$, por lo que hay infinitos productos internos posibles.
Puedes pensar que, dada una base ${\bf e}_a$ para $V$ y una base dual ${\bf e}^{*a}$para $V^*$ tal que ${\bf e}^{*a}({\bf e}_b)=\delta^a_b$, puedes identificar naturalmente ${\bf e}_a$ con ${\bf e}^{*a}$. Puede hacer esto, por supuesto, pero hay infinitas opciones de base, y cada una da una identificación diferente y un producto interno diferente. En mecánica cuántica hacemos una elección de producto interno mediante una elección del mapa de daga antilineal$\dagger :V\to V^*$ en el cual $\dagger: |n\rangle \mapsto (|n\rangle)^\dagger =\langle n|$. Al elegir identificar el "$|p\rangle$"(impulso) base con su doble, su receta hace una elección particular de producto interior.
Creo que en lugar de hablar del producto interno del espacio dual , debería hablar del producto interno de base dual .
Puedes comprobar eso \begin{align} \hat {\cal L}_z= -i\frac{d}{d\varphi}\, ,\quad \hat {\cal L}_+= -e^{i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}+i\frac{d}{d\varphi}\right)\, ,\quad \hat {\cal L}_-= -e^{-i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}-i\frac{d}{d\varphi}\right)\, . \tag{1} \end{align} satisfacen las mismas relaciones de conmutación que $\hat L_z, \hat L_\pm$. Suponga que los operadores en (1) actúan sobre funciones de la forma$f_m(\varphi)=e^{i m\varphi}/\sqrt{2\pi}$.
El producto interior "natural" es $\langle{m}\vert{m'}\rangle= \int d\varphi \, e^{-i m\varphi}e^{i m'\varphi}/(2\pi)$ pero si usa esto, encontrará que la representación matricial de $\hat {\cal L}_x$ y $\hat{\cal L}_y$ actuando en los estados $f_{m}(\varphi)$ no son matrices hermitianas, por lo que no se exponencian a una representación unitaria.
En otras palabras, no hay razón para creer que el "producto interno" natural de los estados producirá una representación unitaria.
No es difícil sentirse incómodo con (1) ya que la representación "habitual" de los operadores diferenciales no actúa sobre el 1-toro sino sobre $S^2/U(1)$(los armónicos esféricos); es intuitivamente extraño tener una especie de representación basada en coordenadas de$SU(2)$ dependiendo de un solo ángulo.
En el caso de grupo compacto (como $SU(2)$arriba), lo que puede decir es que la representación matricial de (1) es equivalente (por una transformación de similitud) a una unitaria. Hay formas sistemáticas de encontrar las transformaciones de similitud. En el caso de grupos no compactos, es más delicado establecer tal equivalencia.
Creo que el siguiente ejemplo muestra que tengo razón en que el producto interno contra el cual una representación de un grupo debería ser unitaria no necesariamente coincide con el producto interno del espacio dual, pero aún así agradecería la retroalimentación.
Considera el $(\frac{1}{2},0)$ representacion de $SL(2,\mathbb{C})$. Esto actúa sobre el espacio de vectores complejos bidimensionales.$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$. Ahora, este espacio vectorial está naturalmente emparejado con un espacio dual.$(a^{\star},b^{\star})$y por lo tanto tenemos el producto interno en nuestro espacio vectorial original como \ begin {ecuación} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} c \\ d \ end {pmatrix} \ bigg) _ {\ text {Producto interno de espacio dual}} = ac ^ {\ star} + bd ^ {\ star} \ end {ecuación} Ahora la representación no es unitaria con respecto a este producto interno, porque por ejemplo en algunas convenciones los elementos del álgebra de mentira asociados a los aumentos no son hermitianos. Sin embargo, existe un producto interno en este espacio vectorial que es unitario, a saber, el determinante de los dos vectores \ begin {ecuación} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix } c \\ d \ end {pmatrix} \ bigg) _ {\ text {Producto interno determinante}} = ad ^ {\ star} -bc ^ {\ star} \ end {ecuación} Entonces, el producto interno contra el cual La representación es unitaria no tiene por qué coincidir con el producto interior del espacio dual.
Edición 1: en vista de la respuesta de Mike Stones, se podría corregir lo que dije de la siguiente manera. Uno puede ver el producto interno determinante como el producto interno del espacio dual si se elige que la asociación entre el espacio vectorial y el espacio dual sea: \ begin {ecuación} \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix} \ rightarrow \ bigg (b ^ {\ star}, - a ^ {\ star} \ bigg) \ end {ecuación}