Duda relacionada con la demostración de un teorema sobre la dimensión de las fibras.
- $f:X \rightarrow Y$sea un morfismo de variedades tal que para cada$p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. Después$\dim X=\dim Y+n$. En la demostración de este teorema si reemplazo$X$por un conjunto abierto afín por el cual la dimensión de la fibra es la misma. Por favor explique.
- $f:X \rightarrow Y$ser un morfismo de variedades afines tales que para cada$p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$para algún subconjunto denso$W$de$Y$. Después$\dim X= \dim Y+n$. He tratado de escribir una prueba de esto que es la siguiente:
Demostración por inducción sobre$\dim Y$. Nada que probar cuando$\dim Y=0$. Dejar$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ser subvariedades cerradas.$f=(f_{1},...,f_{m})$, dónde$f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.
Dejar$F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$.$\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.
$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$.$\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.
$\widetilde{X}$ser un componente irreducible de$X^{'}$.$\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.
Existe un componente irreducible$\widetilde{Y}$de$Y^{'}$tal que$\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$.$\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.
Considerar$f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.
¿Cómo puedo concluir que la fibra es la misma? Resuelva esto.
Respuestas
Supongamos irreductibilidad aquí.
Dado que las aperturas afines son densas, al restringirse a una apertura afín, se pierde una fibra por completo o una fibra simplemente se convierte en otro subconjunto denso de sí misma (por lo tanto, no cambia de dimensión). Para una imagen en mente, considere la proyección trivial$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, donde cada fibra es una copia de$\mathbb{P}^1$. Si restringe a un afín abierto$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$, la fibra se convierte$\mathbb{A}^1$o vacío (sobre el infinito).
Intuitivamente, si considera el mapa de álgebra$f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, entonces cualquier ideal maximal genérico$\mathfrak{m}$se asigna a algún ideal primo$P$que se puede extender a una cadena$P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Darse cuenta de$f^*$debe ser inyectivo (no del todo, pero supongamos que aquí), entonces el ideal maximal tiene una cadena$P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, y la imagen de esos números primos sigue siendo prima; por lo que tiene una larga cadena de longitud$\dim(Y)+n$en$\Gamma(X)$. No estoy seguro de si completar esto en una prueba completa es más fácil...