Duda sobre la prueba de la iteración de Moser en el libro de Gilbarg & Trudinger

Aug 17 2020

Estaba leyendo el teorema 8.15 sobre la iteración de Moser en la monografía de Gilbarg y Trudinger. Entiendo todos los pasos de la prueba dada, pero tengo las siguientes dudas que no podrían aclararse con una lectura cuidadosa.

  1. Los Autores, como hipótesis para el teorema, requieren que $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ y $g\in L^{q/2}(\Omega)$ para algunos $q>n$ pero parece que no han usado estos hechos en ninguna parte de la prueba: ¿es así y, si no, en qué pasos se usan estos hechos?

  2. ¿El teorema falla para $q\le n$?

Ayúdame a comprender completamente esta prueba.

Aquí he subido una instantánea del teorema.

Ecuación 8.3

\ begin {ecuación} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {ecuación} .

Ecuación 8.30

\ begin {ecuación} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {ecuación}

Ecuación 8.32

\ begin {ecuación} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {ecuación}

Ecuación 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

Cualquier sugerencia de ayuda será muy apreciada.

Respuestas

1 Slm2004 Aug 23 2020 at 22:30

definitivamente necesita la condición $f^i\in L^q(\Omega)$ y $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

  1. Durante la prueba, es necesario elegir $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(ecuación anterior (8.37)). Esto es posible si y solo si$q>\hat n$.

  2. El teorema en general falla para $q\leq n$. Uno puede obtener alguna pista del$W^{2,p}$estimaciones de ecuaciones elípticas. Considere un caso especial,$f=0$ y $Lu=g$ con $u=0$en el límite. los$W^{2,p}$ dice aproximadamente $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Recuerde el teorema de inclusión de Sobolev, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ Si $q>n$, aunque esto no es cierto cuando $q\leq n$.

Como contraejemplo, se puede tomar un elemento $g\in W^{2,n/2}$ pero no en $g\not\in L^\infty(\Omega)$. Luego$$\Delta u=\Delta g$$ tiene una solucion $u$ mientras que (8.34) no puede ser cierto.