Duda sobre la prueba de la iteración de Moser en el libro de Gilbarg & Trudinger
Estaba leyendo el teorema 8.15 sobre la iteración de Moser en la monografía de Gilbarg y Trudinger. Entiendo todos los pasos de la prueba dada, pero tengo las siguientes dudas que no podrían aclararse con una lectura cuidadosa.
Los Autores, como hipótesis para el teorema, requieren que $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ y $g\in L^{q/2}(\Omega)$ para algunos $q>n$ pero parece que no han usado estos hechos en ninguna parte de la prueba: ¿es así y, si no, en qué pasos se usan estos hechos?
¿El teorema falla para $q\le n$?
Ayúdame a comprender completamente esta prueba.
Aquí he subido una instantánea del teorema.


Ecuación 8.3
\ begin {ecuación} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {ecuación} .
Ecuación 8.30
\ begin {ecuación} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {ecuación}
Ecuación 8.32
\ begin {ecuación} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {ecuación}
Ecuación 8.33
\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}
Cualquier sugerencia de ayuda será muy apreciada.
Respuestas
definitivamente necesita la condición $f^i\in L^q(\Omega)$ y $g\in L^{q/2}(\Omega)$.
Durante la prueba, es necesario elegir $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(ecuación anterior (8.37)). Esto es posible si y solo si$q>\hat n$.
El teorema en general falla para $q\leq n$. Uno puede obtener alguna pista del$W^{2,p}$estimaciones de ecuaciones elípticas. Considere un caso especial,$f=0$ y $Lu=g$ con $u=0$en el límite. los$W^{2,p}$ dice aproximadamente $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Recuerde el teorema de inclusión de Sobolev, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ Si $q>n$, aunque esto no es cierto cuando $q\leq n$.
Como contraejemplo, se puede tomar un elemento $g\in W^{2,n/2}$ pero no en $g\not\in L^\infty(\Omega)$. Luego$$\Delta u=\Delta g$$ tiene una solucion $u$ mientras que (8.34) no puede ser cierto.