El ejemplo de Spirtes de separación d que no conduce a la independencia en un gráfico cíclico dirigido con ecuaciones estructurales no lineales
En Spirtes (1995) hay un ejemplo (Fig. 4 en la página 495, reproducido a continuación) de un gráfico cíclico dirigido con ecuaciones estructurales no lineales en el que$d$-separación de$X$y$Y$dado$\{Z, W\}$no conduce a la independencia condicional de$X$y$Y$dado$\{Z, W\}$. Tengo un problema para entender la primera parte: ¿por qué decimos que$X$y$Y$son$d$-separado dado$\{Z, W\}?$Ambas cosas$Z$y$W$son colisionadores, y los incluimos a ambos en el conjunto de acondicionamiento.
Respuestas
Aquí está mi explicación. Creo que el autor tiene razón. Todo se reduce a esto: para una relación de doble flecha$W\longleftrightarrow Z,$ninguno de los dos$W$ni$Z$se considera descendiente del otro (a menos que tenga otras aristas relacionándolos). Eso es,$W$no es descendiente de$Z,$ni es$Z$un descendiente de$W.$Entonces, consideremos su gráfico, pero solo una dirección a la vez:
Aquí, acondicionado en el set.$\{W,Z\}$abre el colisionador en$Z$. Sin embargo, el camino de$X$a$Y$todavía está bloqueado por la cadena en$W,$ya que$W$está en el conjunto de acondicionamiento. De manera similar, si consideramos la otra "mitad" del gráfico,
el mismo conjunto de acondicionamiento abre el colisionador en$W$pero cierra la cadena en$Z.$
En cualquiera de los escenarios, la información causal no puede fluir de$X$a$Y,$por eso$\{W,Z\}$ $d$-coordinados$X$y$Y.$
Referencias: Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2nd Ed., por Judea Pearl, págs. 17-18. Note que en el ejemplo de la Fig. 1.3(a), Pearl tiene que recurrir al camino$Z_3\to Z_2\to Z_1$para mostrar que$Z_1$es descendiente de$Z_3;$no usa lo que seria lo obvio$Z_1\longleftrightarrow Z_3$relación.