El enfoque de Friedman de demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

En un espacio vectorial lineal que es el espacio euclidiano $\mathbb{E}_{\infty}$, tenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz

$$ |\langle x,y \rangle| \leq |x| |y|,$$

donde ambos $x,y \in\mathbb{E}_{\infty}$. Explícitamente$x=(\xi_{1},\xi_{2},\cdots)$ y $y=(\eta_{1},\eta_{2},\cdots)$, y asumimos aquí que ambos son finitos en longitud (es decir, la serie para $|x|^{2}$ y $|y|^{2}$ converger).

Estoy familiarizado con varias pruebas de esta desigualdad. Sin embargo, no puedo seguir el enfoque particular que Friedman indica en uno de los problemas (Problema 1.2, p.6) en su libro (también noté que está publicado en línea aquí ) donde dice que podemos probar la desigualdad usando el resultado

$$ |\alpha x + \beta y|^{2}=\langle \alpha x + \beta y, \alpha x + \beta y\rangle = \alpha^{2} \langle x,x \rangle +2 \alpha \beta \langle x,y \rangle + \beta^{2} \langle y,y \rangle,$$

que vale para cualquier $\alpha,\beta$ escalares, y poniendo

$$ x_{n}=(\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n},0,0,\cdots), $$ $$ \alpha = |y|^{2}, $$ $$ \beta=\langle x_{n},y\rangle, $$

para demostrar eso $\langle x_{n},y\rangle \leq |x_{n}| |y|$.

¿Cómo procedemos utilizando este enfoque específico (no otros enfoques) para alcanzar explícitamente la desigualdad?

Answer 1

Supongo que es un error tipográfico y $\ \beta\ $ debiera ser $\ -\big\langle x_n, y\big\rangle\ $. Entonces obtendrás (con$\ \alpha=|y|^2\ $) \begin{align} \big|\alpha x_n+\beta y|^2&=|y|^4|x_n|^2-2|y|^2\big\langle x_n, y\big\rangle^2+ |y|^2\big\langle x_n, y\big\rangle^2\\ &=|y|^4|x_n|^2-|y|^2\big\langle x_n, y\big\rangle^2\ , \end{align} o \begin{align} \big\langle x_n, y\big\rangle^2&= |y|^2|x_n|^2-\frac{\big|\alpha x_n+\beta y|^2}{|y|^2}\\ &\le |y|^2|x_n|^2\ , \end{align} de donde se sigue inmediatamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz.