El poli mínimo de $\sqrt[3]{2}$ encima $\Bbb{Q}$ es igual a $\det(T_a - xI)$ dónde $T_a$ es una matriz sobre $\Bbb{Q}$que representa mult. por $a$.

Aug 18 2020

Dejar $K/F$ ser una extensión de campo del grado $n \in \Bbb{N}$ y para cada $a \in K$ definir $L_a(x) = a x$. Luego$L_a(x)$ es un $F$-transformación lineal de $K$ como un espacio vectorial de dimensión $n$. Así que envía$K$ dentro $F^{n \times n}$ el anillo de matriz enviando $a$ a $T_a = [ L_a(\theta_1) \ \cdots \ L_a(\theta_n) ]$ donde abstractamente tenemos $L = \{ a_1 \theta_1 + \dots + a_n \theta_n : a_i \in F\}$ para algunos $\theta_i$ base en $K$.

Entonces para $a \in K$, $f(x) = \det (T_a - xI) \in F[X]$ el polinomio característico, tenemos que $f(a) = 0$ es decir, eso $a$ es una raíz del polinomio característico que es monica de grado $n$ también lo es el polinomio característico es de hecho $m_{a, F}(x)$ el polinomio mínimo para $a$ encima $F$.

Estoy tratando de probar esto en el caso general, es decir, que $f(a) = 0$ o equivalentemente que $T_a(y) = ay$ para todos $y \in F^n$.

Lo que tengo hasta ahora es:

$$ T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i L_a(\theta_i) \\ \implies T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i (a \theta_i) = a \cdot \dots $$

Así que lo tengo hasta ahora. Entonces el problema dice, prueba esta idea para encontrar la mónica de grado$3$ satisfecho por $a = \sqrt[3]{2}$.

Entonces quiero calcular el determinante de:

$$ \begin{pmatrix} x - \sqrt[3]{2} & 0 & 0 \\ 0 & x - \sqrt[3]{4} & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix} $$

donde he invertido el signo por simplicidad. Calculé lo anterior multiplicando$\theta_1 = 1, \theta_2 = \sqrt[3]{2}, $ y $\theta_3 = \sqrt[3]{4}$ por $a$ y restando eso de $x$.

Me estoy poniendo:

$$ x^3 - 2 x^2 + (2 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}) x - 4 $$

que no es un polinomio sobre $F$. El mal término que obtuve al hacer$(-\sqrt[3]{2})(-2) + (-\sqrt[3]{4})(-2) + (-\sqrt[3]{2})(-\sqrt[3]{4})$ de forma lógica y simétrica.

¿Dónde me he equivocado en mi cálculo?

Respuestas

1 Dave Aug 18 2020 at 08:43

Creo que has calculado $T_a$incorrectamente. Supongo que estás usando la base ordenada$(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ para $K$ como $\mathbb Q$-espacio vectorial ( editar: veo que eres). Así que aplicando$L_a$ al primer vector base da $L_a(1)=\sqrt[3]{2}$. En términos de los vectores de coordenadas relativos a esta base ordenada, esto es$$L_a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ así que esta debería ser la primera columna de $T_a$. Te dejo a ti que revises las otras columnas.

Por último, una pequeña nota: debería ser $\det(xI-T_a)$ para que el polinomio mínimo sea monic.