Encontrar el coeficiente de correlación de $X$ y $XY$
Dejar $X$ y $Y$Ser variables aleatorias independientes con varianzas distintas de cero. Estoy buscando encontrar el coeficiente de correlación$\rho$ de $Z=XY$ y $X$ en términos de las medias y variaciones de $X$ y $Y$, es decir $\mu_X, \mu_Y, \sigma^2_X, \sigma^2_Y$.
(He buscado diferentes métodos en línea, incluida la correlación entre X y XY . Sin embargo, me pregunto si podría usar un enfoque de cálculo simple en lugar de usar momentos también).
El resultado que obtuve, junto con los pasos que he utilizado, es el siguiente:
$$ \begin{align} \rho & = \frac{\text{Cov}(Z,X)}{\sigma_Z\sigma_X}\\[1em] & = \frac{E\left[\left(Z-\mu_Z\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sigma_Z\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left[\left(XY-\mu_X\mu_Y\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(XY\right)^2\right]-\left[E\left(XY\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2\left[E\left(Y\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2\right)E\left(Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{\left(\sigma_X^2+\mu_X^2\right)\left(\sigma_Y^2+\mu_Y^2\right)-\mu^2_X\mu^2_Y}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\left[E\left(X^2\right)-\mu^2_X\right]}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X^2}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}} \end{align} $$
que es aparentemente diferente del resultado del enfoque de momento utilizado en Correlación entre X y XY . ¿En qué paso se produjo un error en mi cálculo (si lo hubiera) y cómo puedo obtener$\rho$ desde el enfoque que estoy tratando de utilizar?
Respuestas
Un enfoque útil para depurar una cadena de igualdades es un ejemplo o dos, para que pueda comprobar dónde deja de mantenerse la igualdad.
El ejemplo más simple que se me ocurre para esto es $Y$siendo una constante que no es 0, 1 o -1. Entonces deja$Y=\mu_Y$ ser una constante positiva que no es 1, y $\sigma^2_Y=0$.
Las primeras tres igualdades son solo definiciones en expansión, por lo que la cuarta es la primera vez que algo podría salir mal. Y lo hace. El numerador de la tercera línea se simplifica a$\mu_Y\mathrm{var}[X]$. El numerador de la cuarta línea no lo hace. O no lo hice cuando escribí esto; ahora ha sido editado.
La versión editada pasa esta verificación. También coincide con la tercera respuesta en la pregunta vinculada, que coincide con la primera respuesta, por lo que probablemente podamos concluir que es correcta.
Lo que ha escrito es lo mismo que la expresión del enlace. En el enlace, hay un error tipográfico en el denominador, como$\mu_2(Y)^2$ debiera ser $\mu_1(Y)^2$.
\ begin {eqnarray} \ text {Cor} (X, XY) & = & \ frac {\ mu_2 (X) \ mu_1 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y)} {\ sqrt {( \ mu_2 (X) - \ mu_1 (X) ^ 2) (\ mu_2 (X) \ mu_2 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y) ^ 2)}} \\ & = & \ frac {E [X ^ 2] \ mu_Y - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 (E [X ^ 2] E [Y ^ 2] - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2)}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {(\ sigma_X ^ 2 + \ mu_X ^ 2) (\ sigma_Y ^ 2 + \ mu_Y ^ 2) - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2 + \ sigma_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2 + \ mu_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2}} \\ \ end { eqnarray}