encontrar la probabilidad condicional de que el resultado del segundo ensayo sea$1$, sin ningún cálculo explícito

Aug 21 2020

pregunta: Considere una secuencia interminable de ensayos independientes , donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de producir cualquiera de los resultados$1$,$2$, o$3$. Dado que el resultado del primer ensayo es$1$y resultado$3$es el último de los tres resultados en ocurrir, encuentre la probabilidad condicional de que el resultado del segundo intento sea$1$, sin ningún cálculo explícito .

dejar

  1. $A_1$= el resultado de la primera prueba es uno

  2. $A_2$= el resultado de la segunda prueba es uno

  3. $\text{third last}$= el resultado tres ocurre después de que hayan ocurrido los resultados uno y dos.

  4. ${A}$denota la secuencia interminable de ensayos independientes , donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de producir cualquiera de los resultados$1$,$2$, o$3$.

lo que hay que encontrar es$P(A_2|A_1 \cap \text{third last})$, sin ningún cálculo explícito

Mi razonamiento es el siguiente :

  1. dado ese resultado$3$es el último de los tres resultados en ocurrir, ahora estamos reducidos a trabajar con un subconjunto $A$donde solo los resultados$1$y$2$puede ocurrir.
  2. este subconjunto de$A$ puede ser en sí mismo una secuencia interminable de ensayos independientes .
  3. ya que los resultados$1$y$2$eran igualmente probables en$A$, deberían ser igualmente probables en este subconjunto de$A$donde solo los resultados$1$y$2$puede ocurrir.
  4. ahora, la probabilidad de que el resultado del segundo camino sea uno es$0.5$(ya que solo hay 2 resultados, cada uno de los cuales es igualmente probable)
  5. además, la información sobre el resultado de la primera prueba no cambiará esta probabilidad, ya que la primera y la segunda prueba siguen siendo independientes.

por eso,$P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$, pero la respuesta dada es$\dfrac{1}{3}$.

editar:

  1. $1,2,3,2,1,2,...$es un ejemplo donde el resultado de la primera prueba es uno
  2. $2,1,2,2,1,3,1,...$es un ejemplo donde el resultado$3$es el último de los tres resultados en ocurrir
  3. $1,1,2,2,1,2,3,2,1.....$es un ejemplo donde el resultado de la primera prueba es uno y el resultado$3$es el último de los tres resultados en ocurrir

edit2: para resumir todas las respuestas y comentarios

  1. dejar$X_i=j$denota ese resultado$i$ocurrió por primera vez en el$j^{th}$prueba. Entonces, lo que quería encontrar era$P(X_2 \neq 2\mid X_1=1, X_3>X_2)$, pero lo que terminé calculando es$ P(X_2 \neq 2\mid X_1=1,X_3\neq 2)$-- J Moravitz

  2. $P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$Esto no es cierto porque debe haber un$2$Entre$1$y$3$. Esto significa que no hay simetría entre los resultados.$1$y$2$más para el segundo ensayo. -- cr001

  3. Conocimiento$3$es el último de los números en aparecer hace en cada momento, que$2$aún no ha aparecido, sesga ligeramente los números a favor de$2$apareciendo a continuación como si estuviera "destinado a aparecer" . -- J Moravitz

Respuestas

1 cr001 Aug 21 2020 at 01:02

$P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$no es cierto porque debe haber un$2$Entre$1$y$3$. Esto significa que no hay simetría entre los resultados.$1$y$2$más para el segundo ensayo.

Considere el subcaso extremo donde el experimento termina exactamente en$3$juicios En este subescenario, la segunda prueba tiene una probabilidad de$1$dar como resultado un resultado de$2$, no$1\over 2$.

Por supuesto, el subcaso anterior no es todo el espacio muestral y el cálculo de esta probabilidad no es simple. Para hacer esto necesitas sumar una cantidad infinita de cosas, escaladas por la probabilidad de cada caso.

La manera fácil es usar el Teorema de Bayes para resolver el problema original.

De la manera del Teorema de Bayes, tenemos

$$P(A_2 \cap A_1 | \text{third last})\cdot P(\text{third last})$$ $$=P(\text{third last}|A_2 \cap A_1 )\cdot P(A_2 \cap A_1 )$$

Aviso,$$P(\text{third last})={1\over 3}$$ $$P(\text{third last}|A_2 \cap A_1 )={1\over 2}$$ $$P(A_2 \cap A_1 )={1\over 9}$$

Note, la segunda igualdad proviene del hecho de que el resultado$1$no puede ser el último y hay una simetría completa entre los resultados$2$y$3$.

dan_fulea Aug 21 2020 at 01:36

Entonces, si entiendo correctamente, el espacio total se basa en$\Omega_0 =\{1,2,3\}$y es$\Omega_0^{\Bbb N}$. Un elemento en este espacio se identificará con una palabra en el alfabeto$\Omega_0$. Conjuntos medibles que comienzan con una palabra finita$w$seguida de cualquier otra terminación se denotará por$w*$. Asi que$122113*$es el conjunto medible de todas las palabras que comienzan con$122113$. Usaré un signo de interrogación para uno y solo un dígito/"letra" entre$1,2,3$.

Entonces el OP se ocupa de los eventos.$A_1=1*$,$A_2=?1*$, y$T=1^+2\{1,2\}^*3*\ \cup\ 2^+1\{1,2\}^*3*$. Aquí,$1^+$es un patrón para una palabra no vacía construida a partir de unos, y$\{1,2\}^*$es una palabra (posiblemente vacía) construida a partir de$1,2$.

Dividimos el espacio$A_2\cap T$explícitamente en las piezas:$$ \begin{aligned} B &= 11\; \{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*\ ,\\ C &= 21\; \{1,2\}^*\; 3*\ . \end{aligned} $$Después$B\sqcup C=A_2\cap T$, y la probabilidad condicional necesaria es$p$abajo, y calculamos...$$ \begin{aligned} p&= \frac{\Bbb P(B)}{\Bbb P(B)+\Bbb P(C)}\ , \\[2mm] \Bbb P(C) &= \Bbb P(21\; \{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\Bbb P( \{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 23\right)^k\right) \cdot\Bbb P( 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\frac 1{1-\frac 23} \cdot\Bbb P( 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\frac 1{1-\frac 23} \cdot\frac 13\ , \\[2mm] \Bbb P(B) &= \Bbb P(11\; \{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\Bbb P(\{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 13\right)^k\right) \cdot\Bbb P(2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot\Bbb P(2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \Bbb P(\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 13\right)^k\right) \cdot\Bbb P(3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \frac 1{1-\frac 23} \cdot \Bbb P(3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \color{blue}{ \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13} \cdot \frac 1{1-\frac 23} \cdot \frac 13 \\[3mm] &\qquad\text{So we have the proportion $\BbbP(C):\BbbP(B)$ equal to $1$ : $\color{azul}{\frac 12}$.} \\[3mm] &\qquad\text{Finally:} \\ p&=\frac{\Bbb P(B)}{\Bbb P(B)+\Bbb P(C)} =\frac{\color{blue}{\frac 12}}{\color{blue}{\frac 12}+1}=\frac 13\ . \end{aligned} $$Esto fue escrito en detalle para una lectura rápida de patrones. Para ver el resultado de un vistazo, uno tiene que darse cuenta de cuál es el factor (azul) que marca la diferencia.


Es la parte azul cuando comparamos:$$ \begin{aligned} B &= \color{green}{11}\; \color{blue}{\{1\}^*\;2}\;\{1,2\}^*\; 3*\ ,\\ C &= \color{red}{21} \; \{1,2\}^*\; 3*\ . \end{aligned} $$(Y las partes verde/roja tienen la misma contribución.)