Encontrar la transformada de Laplace inversa de $\frac{s}{(s+1)^3}$ usando la fórmula de inversión
Necesito encontrar la transformada de Laplace inversa de $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$utilizando Bromwich Integral. El contorno Bromwich se verá algo como esto .
En realidad puedes ver este problema en el siguiente enlace: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. Me gustaría saber, ¿por qué deberíamos mostrar la integral junto$L_u$, $C_R$, $L_D$ es $0$? Quiero decir, he visto muchos ejemplos en algunos libros (como Mathematical Methods for Physicists, 3a ed.) Solo es necesario mostrar el residuo en polos simples para resolver la inversión de la transformada de Laplace
Entonces, en este caso debería ser:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
¿Puede explicar por qué deberíamos mostrar la integral a lo largo de $L_u$, $C_R$, $L_D$ es $0$ (basado en el enlace dado) si la teoría del residuo es suficiente para evaluar la integral para encontrar la transformada de Laplace inversa de $F(s)$?
Espero que me puedas explicar. Quiero aprender más sobre esto, pero sigo confundiéndome cuando se trata de esta pregunta. ¡Muchas gracias!
Respuestas
El teorema del residuo es una extensión del teorema integral de Cauchy . Ambos teoremas comienzan con curvas cerradas rectificables dentro de un dominio conectado simple en$\mathbb{C}$.
La transformada de Laplace inversa de $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$, se expresa por
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
dónde $c$ es un número real que es mayor que todas las singularidades de $F(s)$.
Para aplicar el teorema del residuo, evaluamos la integral de $F(s)e^{st}$sobre una curva cerrada y rectificable. Entonces, comenzamos nuestro análisis y escribimos
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
Dada la cuestión específica del PO, asumimos aquí que las únicas singularidades de $F(s)$son singularidades de polos. Si$F(s)$ tiene singularidades de punto de ramificación, entonces cerraríamos el camino de Bromwich de modo que los puntos de ramificación y los cortes de ramificación correspondientes se excluyan del contorno cerrado.
Suponga que todos los $N$ número de polos de $F(s)$ están dentro del contorno cerrado $C$ y denotar la ubicación del $n$'th polo por $s_n$, dónde $n=1,2\cdots N$. Entonces, tenemos del teorema del residuo,
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
Además, como $R\to \infty$, la primera integral en el lado derecho de $(2)$ enfoques $2\pi i f(t)$ como se expresa en $(1)$. Entonces, si la integral sobre$L_u+C_R+L_d$ desaparece como $R\to \infty$, luego de igualar $(2)$ y $(3)$, encontramos eso
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
NOTA: La expresión en$(4)$ se basó en la suposición de que
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
Si $(5)$ no aguanta, entonces $(4)$ no aguanta igualmente.